【正文】 [解答] 設 原式 ⑶ [解答] 設 原式 習 題 四（1）1． 設 為任意實數(shù)，證明： 證明：設 ，則 所以 即 ，得證.3． 設 為大于 的正整數(shù)，證明： .證明： = 即 若 ，則 于是 這與推論矛盾，所以 若 ，則 于是 這與推論矛盾，所以 綜上所述，有 .1． 設 在 上二階可導，且 證明： 證明：由泰勒公式有 又 ，則 兩邊積分可得 7．設 在 上連續(xù)，且單調(diào)不增，證明：任給 ，有 證明： ， 所以 又 ， ， 單調(diào)不增，當 時， 所以 8．設 在 上具有連續(xù)的二階導數(shù)，且 ，證明：在 內(nèi)存在 一點 ，使證明：由泰勒公式有， 其中 具有二階導數(shù)，設 最大值為 ，最小值為 ，即 則 即 ， 由介值定理可得，至少存在一點 ，使得 即 ，得證.9．設 連續(xù)，證明： 證明：設 ，則 10．設 在 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在且可積， ，證明： 證明: 由 ，可得 ， 其中 即 12．設 在 上連續(xù)，且 ，則 證明： 令 ， 則 兩邊積分得 令 ，消除 后得 即 13．設函數(shù) 在 上具有一階連續(xù)導數(shù)，且 ，證明：證明：由柯西不等式有 14．設函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ， ，證明：，使 證明：因為 在 上連續(xù)，則必存在一點 ，使得 ，即 ， 即 齊次方程通解 特解 所以原式通解為 五．一質(zhì)量為 的物體，在粘性液體中由靜止自由下落，假如液體阻力與運動速度成正比，試求物體運動的規(guī)律. [解答] 物體受到的重力為 ，阻力為 ，則 ，其中 ， ，則方程式變?yōu)? 令 ，則方程式變化為 解其對應的齊次方程，可得 令 為原方程的解，代入方程有 ，解得 ，所以 ，又 ，則 ，又 ，則 所以 十六．有一盛滿水的圓錐形漏斗，高 ，頂角 ，漏斗尖處有面積為 ㎡的小孔，求水流出時漏斗內(nèi)水深的變化規(guī)律，并求出全部流出所需要的時間.[解答] 從時刻 到 小孔流出的水量為在此時間內(nèi)，液面由 降至 ，水量減少為 由題意可知 ，則 ，且當 時， ㎝.所以方程為 當水全部流出時， ， .十八．有一房間容積為 ，開始時房間空氣中含有二氧化碳 ，為了改善房間的空氣質(zhì)量，用一臺風量為 /分的排風扇通入含 的二氧化碳的新鮮空氣，同時以相同的風量將混合均勻的空氣排出，求排出 分鐘后，房間中二氧化碳含量的百分比？[解答] 設在 時刻， 的含量為 ，則在 時間內(nèi)進入房間的 的含量為 ，排出房間的 的含量為 所以在 內(nèi) 的改變量為 化簡得 解得 又 則 ，即 所以當 時， ，即 的含量為 . 習即 在 處值最大，此時 對于任意正數(shù) ，設 ，即求 在條件： 下的最大值，則 解得唯一解 又 在平面 位于第一掛限部分的邊界上為零，故 在點 處取最大值，即有 21．過平面 和平面 的交線，作球面 的切平面，求切平面方程.[解答] 由平面束方程可知，所求平面方程為 化簡可得 由題意可得點到平面距離為化簡可得 即 解得 或 當 時，代入方程可得切平面方程為 當 時，代入方程可得切平面方程為 22．求直線 與直線 之間的垂直距離.[解答] 過 作平行于 的平面，設平面的法向量為 ，則 同時垂直于 和 的方向向量，故 所求得的平面方程為 化簡可得 設 是 上的一點，則 到平面的距離為 故所求直線的距離為 .習 題 十 一4．求解下列二重積分：⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 原式 ⑶ ：由 與 所圍的區(qū)域[解答] 積分區(qū)域 關于 對稱，同時被積函數(shù)是關于 的奇函數(shù)，所以原式 .⑷ ：由 的上凸弧段部分與 軸所形成的曲邊梯形[解答] 對 求二次導數(shù)，由題意可得 時在此區(qū)間上為上凸區(qū)間，即 所以，原式 ⑸ ： [解答] 原式 5．計算下列二重積分： ⑴ ： [解答] 由廣義極坐標： ，則 ，由區(qū)域與函數(shù)的對稱性可得：原式 ⑵ ： ，并求上序二重積分當 的極限[解答] 原式 ， 原式 ⑶ [解答] 原式 ⑷ ： 及 [解答] 原式 8．設 是半徑為 的周長，證明： 證明：將積分化為極坐標形式為9．設 是 上非負連續(xù)函數(shù)， 在 上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明： 證明：左邊 ⑴ 右邊 ⑵ ⑵ － ⑴ 可得 ⑵ ＋ ⑴ 可得 由于 都是連續(xù)且單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即 ，從而 ，則 10．設 均為正整數(shù)，且其中至少有一個是奇數(shù)，證明：證明：當 為奇數(shù)時，將積分化為先對 后對 的二重積分因為 為奇數(shù)，于是 關于 是奇函數(shù)從而 ，所以 .當 為奇數(shù)時，同理可證 .11．設函數(shù) 在 上連續(xù)，令 ，證明： 證明： 12．計算 [解答] 原式 13． ， ：由 及 所圍之區(qū)域.[解答] 設 ，則 14．計算下列三重積分： ⑴ ， ：由 及 所圍形體[解答] 原式 設 在 內(nèi)有連續(xù)導函數(shù)，求 ，其中 是從點 到點 的直線段. [解答] 令 ， 則 ，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關 方法一：選取積分路徑：從 到 ，再從 到 的折線段，于是 方法二：可取曲線 : ，從 到 則 2． 計算 ， 是上半圓周， , 的坐標分別為 ， .[解答] 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令 ， 由格林公式可得 則 2． 計算 ，其中 是沿橢圓 的正向從 到 的一段弧. [解答] 連接 ， 使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式可得 則 7． 設平面 與橢圓柱面 相截，求其在 及平面 之間的橢圓柱面的側面積.[解答] 設 則 根據(jù)弧長的曲面積分 令 ，當 從 時， 從 ， 從 原式 9． 證明不等式證明：設 則 由拉格朗日中值定理可知，在 上，至少存在一個 ，使 即 又 ，則 ，且 ，所以 2． 設函數(shù) 在 上有連續(xù)導數(shù)，滿足 ，并且 ，求證： 證明：設 ，則 令 有 又 且當 時， 所以 ，即 ，從而 單調(diào)遞增，則 即