20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-線代ch5-閱讀頁
2024-09-10 18:50本頁面
【正文】 kkk ????????????????1)1(0220)2(02201)1(||222kkkkkEB 0])2[()1(4])2[(]1)1[( 22222 ??????????? ??? kkkk 解得 23,221 )2(, ??? kk ?? . 其中 23,2 )2( ?? k? 為二重根 . 當(dāng) 2)2( ?? k? 時 , 22441121)1( 222 ????????????? kkkkkk ? EB ??????????????????????????1)1(0220)2(02201)1(222kkkkk ?????????? ?????????????????????000000220222202200022022 kkkkkk 1)( ?? EBr ? , 所以方程組 0)( ?? xEB ? 的基礎(chǔ)解系有二個解向量 , 所以 B 可以對角化 . 即 B 相似于對角矩陣 : ????????????222000)2(000)2(kkk. 0,2 ?? kk 時 , B 的特征值都為正 , 此時 , B 為正定陣 . 8. 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 1, 2, … , n, 試求 |2| EA? . 解 . 因為 A 的特征值為 1, 2, … , n, 所以 2A + E 的特 征值為 ),2,1(12 nii ??? . 所以?? ??? ni iEA 1 )12(|2| . 9. 某試驗性生產(chǎn)線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計 , 然后將 61 熟練工支援其它生產(chǎn)部門 , 其缺額由招收新的非熟練工補齊 . 新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實踐至年終考核 9 有 52 成為熟練工 , 設(shè)第 n 年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為 nx 和 ny , 記成向量 ??????nnyx i. 求 ?????? ??11nnyx 與 ??????nnyx 的關(guān)系式并寫出矩陣形式 : ?????? ??11nnyx = A ??????nnyx 。 iii. 當(dāng) ??????11yx = ??????2121 時 , 求 ?????? ??11nnyx . 解 . i. 由題設(shè)可得以下遞推關(guān)系 : 第 n 年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為 nx 和 ny , 熟練工的 61 , 即nx61支援其它生產(chǎn)部門 , 缺額招收新的非熟練工 , 所以總的非熟練工為nn yx ?61.到第 n + 1年 , 其中的 52 成為熟練工 , 53 還是非熟練工 . 所以得到 ??????????????)61(53)61(526511nnnnnnnyxyyxxx, 即 ?????????????nnnnnnyxyyx531015210911 所以 ?????????????????????????nnnnyxyx53101 5210911 , ???????????53101 52109A ii. ??????? 141?, ???????? 112? ???????????????????????? 141453101 521091?A , 所以 ??????? 141? 是 A的特征向量 , 相應(yīng)的特征值為 11?? 。 ),2,1(2 sjA jj ??? ??? 假設(shè) 01111 ?????? ?? ssrrrr kkkk ???? ?? , 所以 0)()( 1111 ?????? ?? ssrrrr kkAkkA ???? ?? 于是 0)()( 112111 ?????? ?? ssrrrr kkkk ?????? ?? 所以 0)()( 112111 ?????? rrrr kkkk ?????? ?? 所以 0))(( 1121 ???? rrkk ???? ? 因為 21 ??? , 所以 011 ??? rrkk ?? ? 因為 r??? , 21 ? 線性無關(guān) , 所以 021 ???? rkkk ? 所以 011 ??? ?? ssrr kk ?? ? 因為 s??? , 21 ? 線性無關(guān) , 所以 021 ???? ??? srrr kkk ? 即 r?? ,1 ? , s?? ,1 ? 線性無關(guān) .
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