【正文】 ，在 內(nèi)可導，且 ，證明：在 內(nèi) 一個 ，使 .證明：設 ， 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，且 ，則 在 滿足柯西定理，于是有 ，使 即 所以 5．設函數(shù) 在 上可導，且 ，證明： 一個 ，使 證明：設 ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理，于是有 使 即 所以 6．設函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，證明： 一個 ，使證明：設 則 在 上滿足洛爾定理，于是存在 ，使 ，即 7．設函數(shù) 在 上有二階導數(shù)，且 ，證明：至少 一個 使 證明：設 ，則 ，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,又 則 在 上，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,即8．設函數(shù) 在 上可導，且 ，證明：在 內(nèi)至少 一個 ，使 證明：設 ，則在 內(nèi)，由柯西中值定理可得，至少存在一個 ，使得 即 所以 9．若 ，證明： 一個 或 ，使證明：設 ，則在 上，由柯西中值定理可得，存在一個 ，使得 即 化簡可得 10．函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，且 ， ，證明：至少 一個 ，使 .證明：設 ，由 ，可得 由洛爾定理可得，至少存在一個 ，使得 即 11．設函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，證明：至少 一個 使 證明：設 ，則 ，由洛爾定理可得，至少存在一個 ，使得 ，即 已知 在 連續(xù)，對任意 都有 證明： 證明： 在 連續(xù),則 ，又 所以 1．[解答] 原式 ⑸ [解答] 設 原式 ⑹ [解答] 設 ，則 原式 ⑺ [解答] 設 ， 原式 3．求下列不定積分. ⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 設 ，則 原式 4．求下列不定積分.⑴ [解答] 設 ， 原式 ⑵ [解答] 設 ， 于是 在 處連續(xù).⑵ 分別求 在 處的左、右導數(shù) 所以 在 處連續(xù)且可導.5．求下列函數(shù)的間斷點并判別類型.① [解答] 為函數(shù) 的間斷點 又 所以 為函數(shù) 第一類跳躍間斷點.② [解答] 當 時， 當 時， 當 時， 即 ，所以 為函數(shù) 第一類間斷點.③ [解答] 當 時， 所以 為第一類跳躍間斷點.當 時， 不存在，所以 為第二類間斷點.當 時， 所以 為第一類可去間斷點.當 時， 所以 為第二類無窮間斷點.6．試確定常數(shù) 的值，使極限 存在，并求該極限值.[解答] 原式 存在由 可得 ，即 則原式 同理由 可得 ，即 所以原式 7．設 ，且 是 的可去間斷點，求 的值.[解答] 存在，由 可得 . 原式 存在，同理由 可得 .8．設 求 的值.[解答] 原式 ( ) 由 可得 原式 ，即 9．討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性.[解答] 當 時， 所以若 時， 在 連續(xù).若 時， 在 為第一類跳躍間斷點.當 時， 是 的第二類間斷點.10．設 在 的某鄰域內(nèi)二階可導，且 求 及 [解答] 由 可得所以 第二章一、填空題7．設 ，則 __[解答] 原式 所以 8．已知 ，則 __[解答] 原式 即 令 ，則 9．設 為可導函數(shù)， ，則 __[解答] 原式 10．設函數(shù) 由方程 所確定，則曲線 在點 處的法線方程為__[解答] 兩邊求導 將 代入可得 故所求的方程為 二．選擇題1． 填空題⑴ 設 ，則常數(shù) __ [解答] 由題意可得 即 ⑵ __[解答] 且 又 由夾逼原則可得原式 ⑶ 已知極限 ，則 [解答]當 時，由 可得 原式 同理可得 故原式 ⑷ 已知 則 __[解答] 原式 ⑸ 已知函數(shù) 則 __[解答] 又 所以 ⑹ __[解答] 原式 ⑺ 設函數(shù) 有連續(xù)的導函數(shù)， ， ,若 在 處連續(xù)，則常數(shù) ＿[解答] ⑻ 設當 時， = 為 的 階無窮小，則 [解答] 由此可得 ， ⑼ __[解答] 原式 已知函數(shù) 具有任意階導數(shù)，且 ，則當 為大于2的正整數(shù)時， 的 階導數(shù) 是 [解答] ， 由數(shù)學歸納法可得 ，所以應該選 .4．設函數(shù)對任意 均滿足 ，且 ，其中 為非零常數(shù)，則在 處不可導 在 處可導，且 在 處可導，且 在 處可導，且 [解答] ，故應選 . 二、選擇7．設 在 處可導，則 為任意常數(shù) 為任意常數(shù)[解答] 由 在 連續(xù)可得 由 在 可導得 則 ，所以應該選 .8．設 ，則 在 處可導的充要條件為存在 存在 存在 存在[解答] 當 時， ～ ，則 等價于 ，所以應該選 .9．設函數(shù) 在 上可導，則當 時，必有 當 時，必有 當 時，必有 當 時，必有 [解答] 若設 時， 均錯誤，若設 時， 錯誤，故選 .10．設函數(shù) 在 處可導，則函數(shù) 在 處不可導的充分條件是且 且 且 且 [解答] 令 ，由導數(shù)定義可得 若 ，由 的連續(xù)性及保號性可得 ，此時 若 ，同理可得 . 故若 不存在，則 若 ，且 ，設 ，由于 所以當 時， ， 時， 則 故 不存在，所以應該選 .三．計算題1． ，求 .[解答] 2．已知 可導， ，求 .[解答] 3．已知 ，求 .[解答] 等式兩邊對 求導可得 化簡可得 4．設 的函數(shù)是由方程 確定的，求 .[解答] 等式兩邊對 求導可得 化簡得 5．已知 ，求 .[解答] 6．設 ，求 .[解答] 等式兩邊對 求導可得 可得 又 所以 7．設函數(shù) 二階可導， ，且 ，求 .[解答] 8．設曲線 由方程組 確定，求該曲線在 處的曲率 .[解答] ，則 四．已知 ，其中 有二階連續(xù)的導數(shù)，且 ⑴ 確定 的值，使 在 點連續(xù)； ⑵ 求 .[解答] ⑴ 即當 時， 在 處連續(xù). ⑵ 當 時，有 當 時，由導數(shù)的定義有 五．已知當 時， 有定義且二階可導，問 為何值時 是二階可導.[解答] 在 處連續(xù)則 即 在 處一階可導，則有 此時， 在 處二階可導，則有 六．已知 ，求 .[解答] 又 在 處的麥克勞林級數(shù)展開式為 通過比較可得，當 時， 當 時， 七．設 ，求 .[解答]