【正文】 續(xù),則 ，又 所以 1． 于是 在 處連續(xù).⑵ 分別求 在 處的左、右導(dǎo)數(shù) 所以 在 處連續(xù)且可導(dǎo).5．求下列函數(shù)的間斷點并判別類型.① [解答] 為函數(shù) 的間斷點 又 所以 為函數(shù) 第一類跳躍間斷點.② [解答] 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 即 ，所以 為函數(shù) 第一類間斷點.③ [解答] 當(dāng) 時， 所以 為第一類跳躍間斷點.當(dāng) 時， 不存在，所以 為第二類間斷點.當(dāng) 時， 所以 為第一類可去間斷點.當(dāng) 時， 所以 為第二類無窮間斷點.6．試確定常數(shù) 的值，使極限 存在，并求該極限值.[解答] 原式 存在由 可得 ，即 則原式 同理由 可得 ，即 所以原式 7．設(shè) ，且 是 的可去間斷點，求 的值.[解答] 存在，由 可得 . 原式 存在，同理由 可得 .8．設(shè) 求 的值.[解答] 原式 ( ) 由 可得 原式 ，即 9．討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性.[解答] 當(dāng) 時， 所以若 時， 在 連續(xù).若 時， 在 為第一類跳躍間斷點.當(dāng) 時， 是 的第二類間斷點.10．設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且 求 及 [解答] 由 可得所以 第二章一、填空題7．設(shè) ，則 __[解答] 原式 所以 8．已知 ，則 __[解答] 原式 即 令 ，則 9．設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù)， ，則 __[解答] 原式 10．設(shè)函數(shù) 由方程 所確定，則曲線 在點 處的法線方程為__[解答] 兩邊求導(dǎo) 將 代入可得 故所求的方程為 二．選擇題1． 填空題⑴ 設(shè) ，則常數(shù) __ [解答] 由題意可得 即 ⑵ __[解答] 且 又 由夾逼原則可得原式 ⑶ 已知極限 ，則 [解答]當(dāng) 時，由 可得 原式 同理可得 故原式 ⑷ 已知 則 __[解答] 原式 ⑸ 已知函數(shù) 則 __[解答] 又 所以 ⑹ __[解答] 原式 ⑺ 設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)， ， ,若 在 處連續(xù)，則常數(shù) ＿[解答] ⑻ 設(shè)當(dāng) 時， = 為 的 階無窮小，則 [解答] 由此可得 ， ⑼ __[解答] 原式 已知函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 ，則當(dāng) 為大于2的正整數(shù)時， 的 階導(dǎo)數(shù) 是 [解答] ， 由數(shù)學(xué)歸納法可得 ，所以應(yīng)該選 .4．設(shè)函數(shù)對任意 均滿足 ，且 ，其中 為非零常數(shù)，則在 處不可導(dǎo) 在 處可導(dǎo)，且 在 處可導(dǎo)，且 在 處可導(dǎo)，且 [解答] ，故應(yīng)選 . 二、選擇7．設(shè) 在 處可導(dǎo)，則 為任意常數(shù) 為任意常數(shù)[解答] 由 在 連續(xù)可得 由 在 可導(dǎo)得 則 ，所以應(yīng)該選 .8．設(shè) ，則 在 處可導(dǎo)的充要條件為存在 存在 存在 存在[解答] 當(dāng) 時， ～ ，則 等價于 ，所以應(yīng)該選 .9．設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，則當(dāng) 時，必有 當(dāng) 時，必有 當(dāng) 時，必有 當(dāng) 時，必有 [解答] 若設(shè) 時， 均錯誤，若設(shè) 時， 錯誤，故選 .10．設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo)，則函數(shù) 在 處不可導(dǎo)的充分條件是且 且 且 且 [解答] 令 ，由導(dǎo)數(shù)定義可得 若 ，由 的連續(xù)性及保號性可得 ，此時 若 ，同理可得 . 故若 不存在，則 若 ，且 ，設(shè) ，由于 所以當(dāng) 時， ， 時， 則 故 不存在，所以應(yīng)該選 .三．計算題1． ，求 .[解答] 2．已知 可導(dǎo)， ，求 .[解答] 3．已知 ，求 .[解答] 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 化簡可得 4．設(shè) 的函數(shù)是由方程 確定的，求 .[解答] 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 化簡得 5．已知 ，求 .[解答] 6．設(shè) ，求 .[解答] 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 可得 又 所以 7．設(shè)函數(shù) 二階可導(dǎo)， ，且 ，求 .[解答] 8．設(shè)曲線 由方程組 確定，求該曲線在 處的曲率 .[解答] ，則 四．已知 ，其中 有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 ⑴ 確定 的值，使 在 點連續(xù)； ⑵ 求 .[解答] ⑴ 即當(dāng) 時， 在 處連續(xù). ⑵ 當(dāng) 時，有 當(dāng) 時，由導(dǎo)數(shù)的定義有 五．已知當(dāng) 時， 有定義且二階可導(dǎo)，問 為何值時 是二階可導(dǎo).[解答] 在 處連續(xù)則 即 在 處一階可導(dǎo)，則有 此時， 在 處二階可導(dǎo)，則有 六．已知 ，求 .[解答] 又 在 處的麥克勞林級數(shù)展開式為 通過比較可得，當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 七．設(shè) ，求 .[解答] , , , 通過遞推公式可得 當(dāng) 時， 八．證明 滿足方程 證明： 化簡可得 得證.第三章1．求下列不定積分.⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 原式 ⑶ [解答] 原式 ⑷ [解答] 原式 ⑸ [解答] 設(shè) 原式 2．求下列不定積分.⑴ [解答] 設(shè) 原式 ⑵ [解答] 設(shè) ， 原式 ⑶ [解答] 設(shè) 原式 ⑷ 設(shè) 為大于 的正整數(shù)，證明： .證明： = 即 若 ，則 于是 這與推論矛盾，所以 若 ，則 于是 這與推論矛盾，所以 綜上所述，有 .1．即 在 處值最大，此時 對于任意正數(shù) ，設(shè) ，即求 在條件： 下的最大值，則 解得唯一解 又 在平面 位于第一掛限部分的邊界上為零，故 在點 處取最大值，即有 21．過平面 和平面 的交線，作球面 的切平面，求切平面方程.[解答] 由平面束方程可知，所求平面方程為 化簡可得 由題意可得點到平面距離為化簡可得 即 解得 或 當(dāng) 時，代入方程可得切平面方程為 當(dāng) 時，代入方程可得切平面方程為 22．求直線 與直線 之間的垂直距離.[解答] 過 作平行于 的平面，設(shè)平面的法向量為 ，則 同時垂直于 和 的方向向量，故 所求得的平面方程為 化簡可得 設(shè) 是 上的一點，則 到平面的距離為 故所求直線的距離為 . 設(shè)函數(shù) 在 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足 ，并且 ，求證： 證明：設(shè) ，則 令 有 又 且當(dāng) 時， 所以 ，即 ，從而 單調(diào)遞增，則 即