【正文】 得證.4．設函數 在 上連續(xù)，在 內可導，且 ，證明：在 內 一個 ，使 .證明：設 ， 在 上連續(xù)，在 內可導，且 ，則 在 滿足柯西定理，于是有 ，使 即 所以 5．設函數 在 上可導，且 ，證明： 一個 ，使 證明：設 ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理，于是有 使 即 所以 6．設函數 在 上連續(xù)，在 內可導，證明： 一個 ，使證明：設 則 在 上滿足洛爾定理，于是存在 ，使 ，即 7．設函數 在 上有二階導數，且 ，證明：至少 一個 使 證明：設 ，則 ，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,又 則 在 上，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,即8．設函數 在 上可導，且 ，證明：在 內至少 一個 ，使 證明：設 ，則在 內，由柯西中值定理可得，至少存在一個 ，使得 即 所以 9．若 ，證明： 一個 或 ，使證明：設 ，則在 上，由柯西中值定理可得，存在一個 ，使得 即 化簡可得 10．函數 在 上連續(xù)，在 內可導，且 ， ，證明：至少 一個 ，使 .證明：設 ，由 ，可得 由洛爾定理可得，至少存在一個 ，使得 即 11．設函數 在 上連續(xù)，在 內可導，證明：至少 一個 使 證明：設 ，則 ，由洛爾定理可得，至少存在一個 ，使得 ，即 題 七2．填空題 ⑴ 函數 的單調減少區(qū)間__[解答] ，令 ，可得 當 時， ， 單調遞減. 所以 的單調遞減區(qū)間是 或 . ⑵ 曲線 與其在 處的切線所圍成的部分被 軸分成兩部分，這兩部分面積之比是__ [解答] 直線方程為 ，即 ，兩直線的交點可求得 ，即求解 方法一：已知其一根為 ，設方程為 通過比較可得 ，可解得另外一根為 方法二：分解方程有 即 所以 則 ⑶ 設 在 上連續(xù)，當 ＿時， 取最小值.[解答] 令 ，則 即 所以 ⑷ 繞 旋轉所成旋轉體體積__[解答] 令 ，則 當 時，當 時，所以 ⑸ 求心臟線 和直線 及 圍成的圖形繞極軸旋轉所成旋轉體體積__[解答] 將極坐標化為直角坐標形式為 ， 則 所以 　4．計算題⑴ 在直線 與拋物線 的交點上引拋物線的法線，求由兩法線及連接兩交點的弦所圍成的三角形的面積.[解答] 由題意可計算兩法線的方程為，即 ，即 兩直線的交點為 ，則 ⑵ 過拋物線 上的一點 作切線，問 為何值時所作的切線與拋物線 所圍成的面積最小.[解答] 直線的斜率 ，則直線方程為 ，與拋物線相交， 即 ，設方程的兩根為 且 ，則 ， 從而 又 ，所以 ⑶ 求通過點 的直線 中使得 為最小的直線方程.[解答] 設 ，則 則 由 可得 即 可得 又 則當 時 為最小，此時 方程為 ⑷ 求函數 的最大值與最小值.[解答] 令 ，可得 當 時， ，即 在 取最小值，此時 當 時， ，即 在 取最大值 此時 .⑸ 求曲線 與 所圍陰影部分面積 ，并將此面積繞 軸旋轉所構成的旋轉體體積，如圖所示.[解答] ⑹ 已知圓 ，其中 ，求此圓繞 軸旋轉所構成的旋轉體體積和表面積.[解答] 令 ，如圖所示，則 ⑺ 設有一薄板其邊緣為一拋物線，如圖所示，鉛直沉入水中， ① 若頂點恰好在水平面上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？ [解答] 拋物線方程為 ，則在水下 到 這一小塊所受的靜壓力為 所以整塊薄板所受的靜壓力為 若下沉 ，此時受到的靜壓力為 要使 ，解得 .② 若將薄板倒置使弦恰好在水平面在上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？[解答] 建立如圖坐標系，則拋物線方程為 ，則在水下 到 這一小塊所受的靜壓力為 所以整塊薄板所受的靜壓力為 若下沉 ，此時受到的靜壓力為 要使 ，解得 .15．求曲面 的平行于平面 的切平面方程.[解答] 曲面方程在 處切平面的法向量為 則曲面在 處切平面方程為 由題意可知 ，即 則 解得 即 所以切平面的方程為 或 16．求圓周 在 處的切線與法平面方程.[解答] 由題意，對 求導得： ， 可解得 所以，圓周在 的切向量 圓周在 處的切線方程為 法平面方程為 17．試求函數 在閉區(qū)域上 與 的最大值 [解答] 先求函數在 內的駐點 由 可得 ，即函數在 內只有唯一的駐點 ， 再求在邊界上的最值在邊界 ， ，此時 在邊界 ， ，此時 在 上，將 代入 中化簡可得 ，可得 ，此時 18．在橢球面 內作內接直角平行六面體，求其最大體積.[解答] 設 位于第一掛限內橢球面上，則 ，由題意有 則 解得唯一解 所以 19．求原點到曲面 的最短距離.[解答] 設 位于球面 上，則 令 ，由題意可得，即求 在約束條件 下的最小值. ，則 當 時，無解當 時，由 ，可得 20．當時 ，求函數 在球面 上的最大值，并證明對任意的正實數 成立不等式[解答] 由題意可得，則 解得 ， 所以 1． 計算 ，其中 是依次連接 ， ， ， 的有向折線. [解答] 連接 ，使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式可得 所以 則 8．12．設函數 在 上連續(xù)，在 內有二階導數，證明：至少 一個 使 證明： 在 處的泰勒展開式為 兩式相加得 又 在 內有連續(xù)二階導數，所以存在 ，使得 ，所以.13．設函數 在 上連續(xù) ，在 內可導，證明：在 ,使證明：設 ，由柯西中值定理，在 內至少存在 ，使得 即 對于 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 從而 14．設函數 在 上連續(xù)，在 內可導，且 ，證明： 使得 證明：設 ，由柯西中值定理可得，至少存在 ，使得，即 設 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 從而 ，即 15．設函數 在 上連續(xù)，在 內可導，且 ，