20xx年陳文登數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(絕對(duì)詳細(xì)、免費(fèi))(存儲(chǔ)版)
【正文】 在實(shí)軸上連續(xù)，設(shè) ，則 可得 又 存在，則對(duì)任意 ，有 即 處處可微且滿足 解得 又 故 八．求解下列方程 ⑴ [解答] 原式可變換為 ，即 令 ，則又變換為 ，即 解此方程可得 又 ，則 ，所以 ⑵ [解答] 令 ，則 ， 則原式可變換為 解此方程可得 ，即 又 ，則 ，所以 九．求解下列方程 ⑴ [解答] 令 ，則原方程可變換為 即 ，積分可得 即 解得 ⑵ [解答] 令 ，則原方程可變換為 解得 ，又 ，可得 所以 ，則 ，又 ，可得 故 ⑶ [解答] 令 ，則原方程可變換為 令 ，則原方程又可變換為 解此方程可得 ，當(dāng) 時(shí)， ，可得 則 ，又 ，可得 所以 十二．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，即 ，則原方程可變化為 即 相應(yīng)特征方程為 齊次方程通解 特解 所以原式的通解為 ⑵ [解答] 令 ，即 ，則原方程可變化為 即 相應(yīng)特征方程為 [解答] 8．設(shè) ，由 確定，求 .[解答] 對(duì)方程組求導(dǎo)可得 求解可得 ⑷ [解答] 設(shè) ，原式化為極坐標(biāo)形式為 原式 16．求曲面 夾在兩曲面 之間的部分的面積.[解答] 由題意可得 則 17．求用平面 與曲面 相截所得的截?cái)嗝嬷娣e.[解答] 方法一：由 ，可得 ， 則所得的截?cái)嗝嬷娣e 即求 之面積，其中 ： 令 ， ，則 其中 ： ，即 故 又橢圓 的面積為 所以 方法二：由兩方程可得 ， 設(shè)所截圓面的半徑為 ， 又原心到平面 的距離 ，則圓面半徑 所以 18．求下列曲面所圍形體的體積. ⑴ [解答] ⑵ [解答] ⑶ [解答] 21．設(shè)質(zhì)量為 ，半徑為 的非均勻球體，球上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到球心的距離成正比，求球關(guān)于切線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.[解答] 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系 令 ，則 設(shè)切線過點(diǎn) ，方向向量為 ，則切線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 習(xí) 題 十 二1． 5 . 計(jì)算 ，其中 為連接 與 的曲線弧段.[解答] 令 ， , ，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，因此取曲線 ： ，從 到 則 6． 若 ，證明： .證明：設(shè) ，則 ，又 為連續(xù)函數(shù) 所以 故 又設(shè) ，則 ，所以 為單調(diào)減函數(shù). ，所以 所以 當(dāng) 時(shí)， ，即 令 ，則 ，即 (原式中等號(hào)僅當(dāng) 與 至少有一個(gè)為零時(shí)成立)3． 計(jì)算 ，其中 和 為連續(xù)函數(shù)， 為連接 和點(diǎn) 的任何路徑，但與線段 圍成圖形 有定面積 . [解答] 10．計(jì)算 其中 是通過點(diǎn) ， ， 的半圓周 . [解答] 連接 ，使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式有 所以 11． ,其中 是圓周 ， ,若從 軸正向看去，這個(gè)圓周取逆時(shí)針方向. [解答] 設(shè) 為 上側(cè)，則 12．計(jì)算 ，其中 是 被平面 所割下的部分.[解答] 由對(duì)稱性，只要計(jì)算第一掛限的部分，則 ( ) ( ) 13．計(jì)算 ， :錐面 及平面 所圍立體的外側(cè).[解答] 由 可得 則 14．求 在 處沿曲線： ，在 處的切線方向的方向?qū)?shù). [解答] 計(jì)算 ，其中 為常數(shù)， ， ， ， 為 上的一段弧， 為 上的一段弧.[解答] 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令， 則 ， 由格林公式可得 則 14．若 滿足 ，其中有 連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求 .[解答] 令 ， 則 同理 則 化簡(jiǎn)得 即 解得 即 ( 為任意常數(shù))習(xí) 題 五1. 若 在 上連續(xù)，證明：對(duì)于任意選定的連續(xù)函數(shù) ，均有 則在 上， 證明：假設(shè)在 上存在 使得 ，令 ，由于 在 上連續(xù)，故存在 在 上，使得 .又令 則 結(jié)論與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立.2． 設(shè) 是連續(xù)函數(shù)，且 ，則 [解答] ，所以應(yīng)該選 .3．2016版陳文登復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解高等數(shù)學(xué)習(xí) 題 一1． 設(shè) 可導(dǎo)， ，則 是 在 處可導(dǎo)的充分必要條件 充分但非必要條件必要但非充分條件 既非充分又非必要條件[解答] 若 在 處可導(dǎo) ，即 ，所以應(yīng)該選 .2． 設(shè) 在 上二階可導(dǎo)，且 證明： 證明：由泰勒公式有 又 ，則 兩邊積分可得 7．設(shè) 在 上連續(xù)，且單調(diào)不增，證明：任給 ，有 證明： ， 所以 又 ， ， 單調(diào)不增，當(dāng) 時(shí)， 所以 8．設(shè) 在 上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：在 內(nèi)存在 一點(diǎn) ，使證明：由泰勒公式有， 其中 具有二階導(dǎo)數(shù)，設(shè) 最大值為 ，最小值為 ，即 則 即 ， 由介值定理可得，至少存在一點(diǎn) ，使得 即 ，得證.9．設(shè) 連續(xù)，證明： 證明：設(shè) ，則 10．設(shè) 在 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在且可積， ，證明： 證明: 由 ，可得 ， 其中 即 12．設(shè) 在 上連續(xù)，且 ，則 證明： 令 ， 則 兩邊積分得 令 ，消除 后得 即 13．設(shè)函數(shù) 在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：證明：由柯西不等式有 14．設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ， ，證明：，使 證明：因?yàn)?在 上連續(xù)，則必存在一點(diǎn) ，使得 ，即 ， 即 習(xí) 題 十 一4．求解下列二重積分：⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 原式 ⑶ ：由 與 所圍的區(qū)域[解答] 積分區(qū)域 關(guān)于 對(duì)稱，同時(shí)被積函數(shù)是關(guān)于 的奇函數(shù)，所以原式 .⑷ ：由 的上凸弧段部分與 軸所形成的曲邊梯形[解答] 對(duì) 求二次導(dǎo)數(shù)，由題意可得 時(shí)在此區(qū)間上為上凸區(qū)間，即 所以，原式 ⑸ ： [解答] 原式 5．計(jì)算下列二重積分： ⑴ ： [解答] 由廣義極坐標(biāo)： ，則 ，由區(qū)域與函數(shù)的對(duì)稱性可得：原式 ⑵ ：
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