20xx年陳文登數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(絕對詳細(xì)、免費(fèi))-免費(fèi)閱讀
【正文】 設(shè)平面 與橢圓柱面 相截，求其在 及平面 之間的橢圓柱面的側(cè)面積.[解答] 設(shè) 則 根據(jù)弧長的曲面積分 令 ，當(dāng) 從 時(shí)， 從 ， 從 原式 8．設(shè) 是半徑為 的周長，證明： 證明：將積分化為極坐標(biāo)形式為9．設(shè) 是 上非負(fù)連續(xù)函數(shù)， 在 上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明： 證明：左邊 ⑴ 右邊 ⑵ ⑵ － ⑴ 可得 ⑵ ＋ ⑴ 可得 由于 都是連續(xù)且單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即 ，從而 ，則 10．設(shè) 均為正整數(shù)，且其中至少有一個(gè)是奇數(shù)，證明：證明：當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，將積分化為先對 后對 的二重積分因?yàn)?為奇數(shù)，于是 關(guān)于 是奇函數(shù)從而 ，所以 .當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，同理可證 .11．設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，令 ，證明： 證明： 12．計(jì)算 [解答] 原式 13． ， ：由 及 所圍之區(qū)域.[解答] 設(shè) ，則 14．計(jì)算下列三重積分： ⑴ ， ：由 及 所圍形體[解答] 原式 齊次方程通解 特解 所以原式通解為 五．一質(zhì)量為 的物體，在粘性液體中由靜止自由下落，假如液體阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，試求物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律. [解答] 物體受到的重力為 ，阻力為 ，則 ，其中 ， ，則方程式變?yōu)? 令 ，則方程式變化為 解其對應(yīng)的齊次方程，可得 令 為原方程的解，代入方程有 ，解得 ，所以 ，又 ，則 ，又 ，則 所以 十六．有一盛滿水的圓錐形漏斗，高 ，頂角 ，漏斗尖處有面積為 ㎡的小孔，求水流出時(shí)漏斗內(nèi)水深的變化規(guī)律，并求出全部流出所需要的時(shí)間.[解答] 從時(shí)刻 到 小孔流出的水量為在此時(shí)間內(nèi)，液面由 降至 ，水量減少為 由題意可知 ，則 ，且當(dāng) 時(shí)， ㎝.所以方程為 當(dāng)水全部流出時(shí)， ， .十八．有一房間容積為 ，開始時(shí)房間空氣中含有二氧化碳 ，為了改善房間的空氣質(zhì)量，用一臺(tái)風(fēng)量為 /分的排風(fēng)扇通入含 的二氧化碳的新鮮空氣，同時(shí)以相同的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，求排出 分鐘后，房間中二氧化碳含量的百分比？[解答] 設(shè)在 時(shí)刻， 的含量為 ，則在 時(shí)間內(nèi)進(jìn)入房間的 的含量為 ，排出房間的 的含量為 所以在 內(nèi) 的改變量為 化簡得 解得 又 則 ，即 所以當(dāng) 時(shí)， ，即 的含量為 . 習(xí)原式 5．求下列不定積分. ⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 所以 ⑶ [解答] 原式 ⑷ [解答] 原式 移項(xiàng)得 ⑸ [解答] 原式 6．求下列不定積分.⑴ [解答] 原式 再求 設(shè) ，則 原式 = = 所以原式 ⑵ [解答] 設(shè) 原式 ⑶ [解答] 設(shè) 原式 7．設(shè) ，求 [解答] 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 因?yàn)?在 處連續(xù)，可得 ，所以 8．設(shè) ，( 為不同時(shí)為零的常數(shù))，求 .[解答] 設(shè) ， ，則 又 所以 即 9．求下列不定積分.⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 原式 ⑶ [解答] 原式 ⑷ [解答] 原式 10．設(shè)當(dāng) 時(shí)， 連續(xù)，求 [解答] 原式 11．設(shè) ，求 . [解答] 設(shè) ，則 所以 12．求下列不定積分.⑴ [解答] 設(shè) 原式 ⑵ [解答] 設(shè) 原式 ⑶ [解答] 設(shè) 原式 ⑷ [解答] 設(shè) 原式 13．下列不定積分. ⑴ [解答] 設(shè) 原式 ⑵ [解答] 設(shè) 原式 ⑶ [解答] 設(shè) ，則原式 ⑷ [解答] 設(shè) ， 原式 14．求下列不定積分.⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 原式 ⑶ [解答] 原式 15．求下列不定積分. ⑴ [解答] 設(shè) 原式 ⑵ [解答] 設(shè) 原式 ⑶ [解答] 設(shè) 原式 習(xí) 題 四（1）1．[解答] 原式 ⑸ [解答] 設(shè) 原式 ⑹ [解答] 設(shè) ，則 原式 ⑺ [解答] 設(shè) ， 原式 3．求下列不定積分. ⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 設(shè) ，則 原式 4．求下列不定積分.⑴ [解答] 設(shè) ， 原式 ⑵ [解答] 設(shè) ， 習(xí) 題 六一．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，則原微分方程可變化為 解其對應(yīng)的齊次方程 ，可得 令 為原方程的解，代入方程有 ，解得 ，所以 故原方程的解為 ⑵ [解答] 原方程可變換為 解得 ，即 ，又 ，則 ，故 二．求解下列微分方程.⑴ [解答] 令 ，則 ，原方程可變換為 即 ，解得 ，將 代入可得 ⑵ [解答] 設(shè) ，將方程右端同除 后可變換為 解得 即 由 可得 ，故所求方程為 三．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，又 ，則原方程式可變換為 解其對應(yīng)的齊次方程，可得 令 為原方程的解，代入方程有 解得 所以 ⑵ [解答] 方程可變換為 其對應(yīng)其次方程 可解為，積分可得 ，即 ，齊次方程的通解為 令 ，代入原式中有 ，積分可解得 故原方程的通解為 ⑶ [解答] 設(shè) ，則 ， 所以原式可變換為 由貝努利方程，設(shè) ，則方程變換為 其對應(yīng)的齊次方程的解為 ， 令 ，代入原方程中可解得 所以 ，即 五．求解下列微分方程 ⑴ [解答] 原式可變換為 ，即 設(shè) ，則原方程可變換為 其對應(yīng)的齊次方程的通解為 令 為原方程的解，代入原式中有，可解得 故 ⑵ [解答] 原式可變換為 由貝努利方程，設(shè) ，則原式可變換為 其對應(yīng)的齊次方程的通解為 令 為原方程的解，代入可得 解得 所以 六．函數(shù) 在實(shí)軸上連續(xù)， 存在，且具有性質(zhì) ，試求出 .[解答]
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