20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-線代ch2-閱讀頁
2024-09-10 18:51本頁面
【正文】 ??????????313100323100005200211A 3. 已知三階矩陣 A滿足 )3,2,1( ?? iiA ii ?? . 其中 T)2,2,1(1 ?? , T)1,2,2(2 ??? , T)2,1,2(3 ???? . 試求矩陣 A. 解 . 由本題的條件知 : ??????????????212122221A?????????????622342641 ??????????????100010001212122221???????????????????102012001630360221??? ??????????????????????0313231032001120210221?????????????????????????3231323103232031300210201??? ??????????????????????9291923103232031100210201???????????????????????929192919292929291100010001??? 9 ??????????????????????????????????????????????????????232323235032037929192919292929291622342641A 4. k取什么值時 , ????????????11100001kA 可逆 , 并求其逆 . 解 . 011100001|| ???? kkA ???????????? 10011101000001001???k???????????? 101110100100100???k ???????????? 111100010010001001kk??? 所以 ?????????????1110100011kkA 5. 設(shè) A是 n階方陣 , 且有自然數(shù) m, 使 (E + A)m = 0, 則 A可逆 . 解 . 因為 0)(10 ????? ?? ??miiimmiiimm AcEAcAE 所 以 ??? ?? miiim EAcA11 )( . 所以 A可逆 . 6. 設(shè) B為可逆矩陣 , A是與 B同階方陣 , 且滿足 A2 + AB + B2 = 0, 證明 A和 A + B都是可逆矩陣 . 解 . 因為 022 ??? BABA , 所以 2)( BBAA ??? . 因為 B可逆 , 所以 0||)1(|| 22 ???? BB n 所以 0|||)(| 2 ???? BBAA . 所以 BAA ?, 都可逆 . 7. 若 A, B都是 n階方陣 , 且 E + AB可逆 , 則 E + BA也可逆 , 且 AABEBEBAE 11 )()( ?? ???? 10 解 . AABEBBAEBAEAABEBEBAE 11 )()())()(( ?? ???????? = AABEABEBBAEAABEBABBBAE 11 ))(())(( ?? ????????? = EBABAE ??? 所以 AABEBEBAE 11 )()( ?? ???? . 8. 設(shè) A, B都是 n階方陣 , 已知 |B| ? 0, A－ E可逆 , 且 (A－ E)－ 1 = (B－ E)T, 求證 A可逆 . 解 . 因為 (A－ E)－ 1 = (B－ E)T, 所以 (A－ E)(B－ E)T = E 所以 EEBEBA TT ???? )( , TT BEBA ?? )( 由 |B| ? 0 知 11 )( ?? TBB ， 存在 . 所以 EBEBA TT ?? ?1))(( . 所以 A可逆 . 9. 設(shè) A, B, A + B為 n階正交矩陣 , 試證 : (A + B)－ 1 = A－ 1 + B－ 1. 解 . 因為 A, B, A + B為正交矩陣 , 所以 111 ,)()( ??? ????? BBAABABA TTT 所以 111 )()( ??? ??????? BABABABA TTT 10. 設(shè) A, B都是 n階方陣 , 試證明 : || EABBE EA ??. 解 . 因為 ?????? ?????????????? ??????? ABE BEBE EAE AEE E 0000 所以 ABE BEBE EAE AEE E ??? 0000 ||)1(01)1( 2 EABABE BEBE EA nn ???????? 因為 nn )1()1( 2 ??? , 所以 || EABBE EA ?? 11. 設(shè) A為主對角線元素均為零的四階實對稱可逆矩陣 , E為四階 單位矩陣 )0,0(00000000000000??????????????? lklkB i. 試計算 |E +AB|, 并指出 A中元素滿足什么條件時 , E + A
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