20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-線代ch2-資料下載頁
2025-08-12 18:51本頁面
【導(dǎo)讀】解.由AB=0,而且B為非零矩陣,所以存在B的某個列向量bj為非零列向量,滿足Abj=0.
【正文】 ???????0000000000342313kalalakalaka ABE??????????????1001001001343424231413kalalakalaka, 2341|| k laABE ??? 所以當(dāng) 2341 akl?時 , E + AB可逆 . ii. 11111 )()]([)( ????? ????? BAABEAAABE 因為 A, B為實對稱矩陣 , 所以 BA ??1 為實對稱矩陣 , 所以 (E + AB)－ 1A為對稱矩陣 . 12. 設(shè)??????????????100100A , 求 An. 解 . 使用數(shù)學(xué)歸納法 . ????????????????????????????????2222210200100100100100???????????A ??????????????????????????????1001002102002223A??????????? 323233)21(0300?????? 假設(shè) kA =????????????? ???kkkkkkkkk??????121)11(000? 則 1?kA =????????????? ???kkkkkkkkk??????121)11(000? ?????????????100100 12 =??????????????????1111)1()1(0)1(00kkkkkkkkk??????? 所以 nA =????????????? ???nnnnnnnnn??????121)11(000?=????????????? ???nnnnnnnnnn??????1212)1( 000 13. A是 n階方陣 , 滿足 Am = E, 其中 m是正整數(shù) , E為 n階單位矩陣 . 今將 A中 n2個元素 aij用其代數(shù)余子式 Aij代替 , 得到的矩陣記為 A0. 證明 EAm?0 . 解 . 因為 Am = E, 所以 1|| ?mA , 所以 A可逆 . 11*0 )(||]|[|)( ?? ??? TTT AAAAAA 所以 EEAAAAAA mTmmmTm ???? ??? 1110 ||])[(||])(|[| 14. 設(shè)矩陣???????????010101001A i. 證明 : n ? 3時 , EAAA nn ??? ? 22 (E為三階單位矩陣 ) ii. 求 A100. 解 . i. ???????????0101010012A??????????010101001???????????101011001 ???????????1010110013A??????????010101001???????????011102001 ??????????????0101010012 EAA ???????????011101??????????100010001???????????0111020013A? 所以 EAAA ??? ? 2233 假設(shè) EAAA kk ??? ? 22 則 ???? ?? AAAA kk 311 AEAAA k ????? 21 = EAA k ???? 221）（ 所以 EAAA nn ??? ? 22 13 ii. ???? EAAA 2981 0 0 EAEAA 495022 2296 ????? ? ????????????50050050500050??????????490004900049???????????10500150001 15. 當(dāng)???????????? ??21232321A 時 , A6 = E. 求 A11. 解 . 121232321|| ???A , 所以 ??? ||*1AAA????????????? 21232321 因為 1112116 ?? ??? EAAAAEA ，??????????????21232321 16. 已知 A, B是 n階方陣 , 且滿足 A2 = A, B2 = B, 與 (A－ B)2 = A + B, 試證 : AB = BA = 0. 解 . 因為 (A－ B)2 = A + B, 所以 ))(())(()( 3 BABABABABA ??????? 于是 2222 BABBAABABBAA ??????? , 所以 BAAB? BABBAABABABA ???????? 222 ,)( 因為 A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以 0?? BAAB .
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