20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-線代ch4-資料下載頁(yè)
2025-08-12 18:50本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】r是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則r=. 解.假設(shè)該方程組為Am×nx=b,矩陣的秩rAr?xkxx只有零解,則k應(yīng)滿足的條件是______.系所包含的解向量的個(gè)數(shù)為______.Ar,A*x=0的基礎(chǔ)解系所含。解向量的個(gè)數(shù)為4－0=4.A,則Ax=0的通解為______.s是非齊次線性方程組Ax=b的解,若C1?為其基礎(chǔ)解系,則該方程的系數(shù)矩陣為___.,其中321,,kkk為任意常數(shù).kB,且已知存在三階方陣X,2=T都是線性方程組0?的對(duì)應(yīng)分量不成比例,所以21,??ArA.因?yàn)锳是三階矩陣,所以0?的基礎(chǔ)解系,則該方程組的基礎(chǔ)解系還可以表成。的一個(gè)等秩向量組
【正文】 8. A 是 n 階矩陣 , 且 A ? 0. 證明 :存在一個(gè) n 階非零矩陣 B, 使 AB = 0 的充分必要條件是0|| ?A . 解 . 必要性 : (反證法 ) 反設(shè) 0|| ?A , 則 1?A 存在 . 所以當(dāng) AB = 0時(shí) , 二邊右乘 1?A 得 0?B , 和存在一個(gè)n 階非零矩陣 B, 使 AB = 0 矛盾 . 所以 0|| ?A 。 充分性 : 設(shè) 0|| ?A , 則方程組 Ax = 0 有非零解 ),( 2,1 nbbbx ?? . 構(gòu)造矩陣 ?????????????00000021???????nbbbB 則 B ? 0, 且 AB = 0. 9. 假設(shè) A 是 m n 階矩陣 ,若對(duì)任意 n 維向量 x, 都有 0?Ax , 則 A = 0. 解 . 假設(shè) ),( 21 nA ??? ?? , i? 為 A 的列向量 ),2,1( ni ?? . 取Ti )0,1,0( ???? ),2,1( ni ?? , 只有第 i 個(gè)分量為 1, 其余都為 0. 則 0010??????????????????? ii AA ????, ),2,1( ni ?? 所以 A = 0. 10. 假設(shè)?????????????????????????????????????1111,010,1113102112?bcaA . 如果 ?是方程組 bAx? 的一個(gè)解 , 試求bAx? 的通解 . 解 . 將???????????????1111? 代入 bAx? , 得到 caca ????? ,011 . ?????????????????????????002121011310021120111131002112??????aaaa 11 i. 21??ca ?????????? ??????????????????????????00000113101120200000113100211201212111131002112????????? 于是 2)()( ?? ArAr , 基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為 : 2)(4 ?? Ar . 齊次方程 : ??? ?????? 03 022432431 xxx xxx , 令 1,3,0,1 1243 ????? xxxx 解得, 解向量為 : T)0,1,3,1( ? 令 1,2,2,0 1243 ?????? xxxx 解得, 解向量為 : T),0,2,1( ? 所以通解為 : ??????????????????????????????????????????20210131111121 kk i. 21??ca ?????????????????????????002121011310021120111131002112??????aaaa ??????????????????aaa 21211001131011202??? 于是 3)()( ?? ArAr , 基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為 : 1)(4 ?? Ar . 齊次方程 : ?????????????????0)21()1(0302243432431xaxaxxxxxx, 令 2,1,1,2 1234 ?????? xxxx 解得 , 解向量為 : T)2,1,1,2( ?? 12 所以通解為 : ????????????????????????????21121111k 11. 假設(shè)?????????????????????????222141,111111BaaaA . 如果矩陣方程 BAX? 有解 , 但解不惟一 , 試確定參數(shù) a. 解 . ?????????????????????????????????aaaaaaaaaa4221106011041112211211141112 ?????? ????????????????????aaaaaaa482)2)(1(00601104111??? 當(dāng) 2??a 時(shí) , 對(duì)于 B 的任一列向量 , 都有 32)()( ??? ArAr , 所以矩陣方程BAX? 有解 , 但解不惟一 .
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