【正文】 ，也稱母體。在實(shí)際工作中，為了了解研究對(duì)象的某些數(shù)學(xué)特性，往往只能從總體中抽出部分個(gè)體作為資料，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法加以分析。這種從總體中抽取部分個(gè)體的過程稱為“抽樣”，所抽得部分稱為“樣本”。通過對(duì)樣本的測(cè)量，可以推測(cè)整體的特征。為什么樣本標(biāo)準(zhǔn)差的n個(gè)離差平方不除以n，而要除以（n1）呢?n表示樣本容量（個(gè)數(shù)），（n1）稱為自由度。自由度反映分布或差異信息的個(gè)數(shù)。例如，當(dāng)n=1時(shí)，即K只有一個(gè)數(shù)值時(shí)，K=，（K）=0，數(shù)據(jù)和均值沒有差異，即表示差異的信息個(gè)數(shù)為11=0；當(dāng)n=2時(shí)，是K和K的中值，則（K）和（K）的絕對(duì)值相等，只是符號(hào)相反。它們只提供一個(gè)信息，即兩個(gè)數(shù)據(jù)與中值相差︱K︳，這就是說差異的個(gè)數(shù)為21=1。當(dāng)n=3時(shí)，也是如此。例如，K分別為6，均值為3，誤差分別為1和3。實(shí)際上，我們得到的誤差信息只有兩個(gè)。因?yàn)楸染敌〉臄?shù)據(jù)的誤差絕對(duì)值與比均值大的數(shù)據(jù)的誤差絕對(duì)值是相等的。我們知道了兩個(gè)誤差信息，就等于知道了第三個(gè)誤差信息。例如，一個(gè)數(shù)據(jù)比均值小2，一個(gè)數(shù)據(jù)比均值小1，則另一個(gè)數(shù)據(jù)必定比均值大3。當(dāng)n為4或更多時(shí)，數(shù)據(jù)與均值的誤差信息總會(huì)比樣本容量少一個(gè)。因此，要用（n1）作為標(biāo)準(zhǔn)差的分母。只有（n1）個(gè)對(duì)我們有用的信息，所以用（n1）作為分母才是真正的平均。由于在財(cái)務(wù)管理實(shí)務(wù)中使用的樣本量都很大，區(qū)分總體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差沒有什么實(shí)際意義。在已經(jīng)知道每個(gè)變量值出現(xiàn)概率的情況下，標(biāo)準(zhǔn)差可以按下式計(jì)算：標(biāo)準(zhǔn)差（σ）= %，%（計(jì)算過程見表4—2），由于它們的預(yù)期報(bào)酬率相同，因此可以認(rèn)為A項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)比B項(xiàng)目大。標(biāo)準(zhǔn)差是以均值為中心計(jì)算出來的，因而有時(shí)直接比較標(biāo)準(zhǔn)差是不準(zhǔn)確的，需要剔除均值大小的影響。為了解決這個(gè)問題，引入了變化系數(shù)（離散系數(shù)）的概念。變化系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比，它是從相對(duì)角度觀察的差異和離散程度，在比較相關(guān)事務(wù)的差異程度時(shí)較之直接比較標(biāo)準(zhǔn)差更好些。變化系數(shù)=表4—2 A項(xiàng)目的標(biāo)準(zhǔn)差K（K）（K）P90%～15%=15%～15%0=060%～15%=方差（σ）標(biāo)準(zhǔn)差（σ）%B項(xiàng)目的標(biāo)準(zhǔn)差K（K）（K）P20%～15%=15%～15%0=010%～15%=方差（σ）標(biāo)準(zhǔn)差（σ）%【例4—29】A證券的預(yù)期報(bào)酬率為10％，標(biāo)準(zhǔn)差是12％；B證券的預(yù)期報(bào)酬率為18％，標(biāo)準(zhǔn)差是20％。變化系數(shù)（A）=12％/10％=變化系數(shù)（B）=20％/18％=直接從標(biāo)準(zhǔn)差看，B證券的離散程度較大，能否說B證券的風(fēng)險(xiǎn)比A證券大呢？不能輕易下這個(gè)結(jié)論，因?yàn)锽證券的平均報(bào)酬率較大。如果以各自的平均報(bào)酬率為基礎(chǔ)觀察，，B證券的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)較小。這就是說，A的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)較小，但相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)較大，B與此正相反。三、投資組合的風(fēng)險(xiǎn)和報(bào)酬投資組合理論認(rèn)為，若干種證券組成的投資組合，其收益是這些證券收益的加權(quán)平均數(shù)，但是其風(fēng)險(xiǎn)不是這些證券風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)平均風(fēng)險(xiǎn)，投資組合能降低風(fēng)險(xiǎn)。這里的“證券”是“資產(chǎn)”的代名詞，它可以是任何產(chǎn)生現(xiàn)金流的東西，例如一項(xiàng)生產(chǎn)性實(shí)物資產(chǎn)、一條生產(chǎn)線或者是一個(gè)企業(yè)。（一）證券組合的預(yù)期報(bào)酬率和標(biāo)準(zhǔn)差1．預(yù)期報(bào)酬率兩種或兩種以上證券的組合，其預(yù)期報(bào)酬率可以直接表示為：r= 其中：r是第j種證券的預(yù)期報(bào)酬率；A是第j種證券在全部投資額中的比重；m是組合中的證券種類總數(shù)。2．標(biāo)準(zhǔn)差與相關(guān)性證券組合的標(biāo)準(zhǔn)差，并不是單個(gè)證券標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)單加權(quán)平均。證券組合的風(fēng)險(xiǎn)不僅取決于組合內(nèi)的各證券的風(fēng)險(xiǎn)，還取決于各個(gè)證券之間的關(guān)系?！纠?—30】假設(shè)投資100萬元，A和B各占50％。如果A和B完全負(fù)相關(guān)，即一個(gè)變量的增加值永遠(yuǎn)等于另一個(gè)變量的減少值。組合的風(fēng)險(xiǎn)被全部抵銷，見表4—3所示。如果A和B完全正相關(guān)，即一個(gè)變量的增加值永遠(yuǎn)等于另一個(gè)變量的增加值。組合的風(fēng)險(xiǎn)不減少也不擴(kuò)大，見表4—4所示。表4—3 完全負(fù)相關(guān)的證券組合數(shù)據(jù)方案AB組合年度收益報(bào)酬率收益報(bào)酬率收益報(bào)酬率1912040％510％1515％192510％2040％1515％19335％5％1515％1945％35％1515％19515％15％1515％平均數(shù)15％15％1515％標(biāo)準(zhǔn)差％％0表4—4 完全正相關(guān)的證券組合數(shù)據(jù)方案AB組合年度收益報(bào)酬率收益報(bào)酬率收益報(bào)酬率1912040％2040％4040％192510％510％1O10％19335％35％3535％1945％5％55％19515％15％1515％平均數(shù)15％15％1515％標(biāo)準(zhǔn)差％％％實(shí)際上，各種股票之間不可能完全正相關(guān)，也不可能完全負(fù)相關(guān)，所以不同股票的投資組合可以降低風(fēng)險(xiǎn)，但又不能完全消除風(fēng)險(xiǎn)。一般而言，股票的種類越多，風(fēng)險(xiǎn)越小。（一）投資組合的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)不是各證券標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)單加權(quán)平均數(shù)，那么它如何計(jì)量呢？投資組合報(bào)酬率概率分布的標(biāo)準(zhǔn)差是：σ= 其中：m是組合內(nèi)證券種類總數(shù)；Aj是第j種證券在投資總額中的比例；Ak是第k種證券在投資總額中的比例；σjk是第j種證券與第k種證券報(bào)酬率的協(xié)方差。該公式的含義說明如下：1．協(xié)方差的計(jì)算兩種證券報(bào)酬率的協(xié)方差，用來衡量它們之間共同變動(dòng)的程度：σjk=rjkσjσk 其中：rjk是證券j和證券k報(bào)酬率之間的預(yù)期相關(guān)系數(shù)，σj是第j種證券的標(biāo)準(zhǔn)差，σk是第k種證券的標(biāo)準(zhǔn)差。證券j和證券k報(bào)酬率概率分布的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法，前面講述單項(xiàng)證券標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)已經(jīng)介紹過。相關(guān)系數(shù)總是在1～+1間取值。當(dāng)相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，表示一種證券報(bào)酬率的增長(zhǎng)總是與另一種證券報(bào)酬率的增長(zhǎng)成比例，反之亦然；當(dāng)相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，表示一種證券報(bào)酬的增長(zhǎng)與另一種證券報(bào)酬的減少成比例，反之亦然；當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0時(shí)，表示缺乏相關(guān)性，每種證券的報(bào)酬率相對(duì)于另外的證券的報(bào)酬率獨(dú)立變動(dòng)。一般而言，多數(shù)證券的報(bào)酬率趨于同向變動(dòng)，因此兩種證券之間的相關(guān)系數(shù)多為小于1的正值。相關(guān)系數(shù)（r）= 2．協(xié)方差矩陣根號(hào)內(nèi)雙重的符號(hào)，表示對(duì)所有可能配成組合的協(xié)方差，分別乘以兩種證券的投資比例，然后求其總和。例如，當(dāng)m為3時(shí)，所有可能的配對(duì)組合的協(xié)方差矩陣如下所示：σ1，1 σ1，2 σ1，3 σ2，1 σ2，2 σ2，3 σ3，1 σ3，2 σ3，3 左上角的組合（1，1）是σ1 與σ1 之積，即標(biāo)準(zhǔn)差的平方，稱為方差，此時(shí)，j=k。從左上角到右下角，共有三種j=k的組合，在這三種情況下，影響投資組合標(biāo)準(zhǔn)差的是三種證券的方差。當(dāng)j=k時(shí)，相關(guān)系數(shù)是1，并且σjσk變?yōu)棣?。這就是說，對(duì)于矩陣對(duì)角線位置上的投資組合，其協(xié)方差就是各證券自身的方差。組合σ1，2代表證券1和證券2報(bào)酬率之間的協(xié)方差，組合σ2，1代表證券2和證券1報(bào)酬率的協(xié)方差，它們的數(shù)值是相同的。這就是說需要計(jì)算兩次證券1和證券2之間的協(xié)方差。對(duì)于其他不在對(duì)角線上的配對(duì)組合的協(xié)方差，我們同樣計(jì)算了兩次。雙重求和符號(hào)，就是把由各種可能配對(duì)組合構(gòu)成的矩陣中的所有方差項(xiàng)和協(xié)方差項(xiàng)加起來。3種證券的組合，一共有9項(xiàng)，由3個(gè)方差項(xiàng)和6個(gè)協(xié)方差項(xiàng)（3個(gè)計(jì)算了兩次的協(xié)方差項(xiàng)）組成。3．協(xié)方差比方差更重要該公式表明，影響證券組合的標(biāo)準(zhǔn)差不僅取決于單個(gè)證券的標(biāo)準(zhǔn)差，而且還取決于證券之間的協(xié)方差。隨著證券組合中證券個(gè)數(shù)的增加，協(xié)方差項(xiàng)比方差項(xiàng)越來越重要。這一結(jié)論可以通過考察上述矩陣得到證明。例如，在兩種證券的組合中，沿著對(duì)角線有兩個(gè)方差項(xiàng)σ1，1和σ2，2，以及兩項(xiàng)協(xié)方差項(xiàng)σ1，2和σ2，1。對(duì)于三種證券的組合，沿著對(duì)角線有3個(gè)方差項(xiàng)σ1，σ2，σ3，3以及6項(xiàng)協(xié)方差項(xiàng)。在四種證券的組合中，沿著對(duì)角線有4項(xiàng)方差項(xiàng)和12項(xiàng)協(xié)方差。當(dāng)組合中證券數(shù)量較多時(shí)，總方差主要取決于各證券間的協(xié)方差。例如，在含有20種證券的組合中，矩陣共有20個(gè)方差項(xiàng)和380個(gè)協(xié)方差項(xiàng)。當(dāng)一個(gè)組合擴(kuò)大到能夠包含所有證券時(shí)，只有協(xié)方差是重要的，方差項(xiàng)將變得微不足道。因此，充分投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，只受證券之間協(xié)方差的影響而與各證券本身的方差無關(guān)。下面舉例說明兩種證券組合報(bào)酬率的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算過程?！纠?—31】假設(shè)A證券的預(yù)期報(bào)酬率為10％，標(biāo)準(zhǔn)差是12％。B證券的預(yù)期報(bào)酬率是18％，標(biāo)準(zhǔn)差是20％。假設(shè)等比例投資于兩種證券，即各占50％。該組合的預(yù)期報(bào)酬率為：rp=10％+18％=14％如果兩種證券的相關(guān)系數(shù)等于1，沒有任何抵銷作用，在等比例投資的情況下該組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于兩種證券各自標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)，即16％。，組合的標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)小于加權(quán)平均的標(biāo)準(zhǔn)差，其標(biāo)準(zhǔn)差是：σp= = =％從這個(gè)計(jì)算過程可以看出：只要兩種證券之間的相關(guān)系數(shù)小于1，證券組合報(bào)酬率的標(biāo)準(zhǔn)差就小于各證券報(bào)酬率標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)。（三）兩種證券組合的投資比例與有效集在例4—31中，兩種證券的投資比例是相等的。如投資比例變化了，投資組合的預(yù)期報(bào)酬率和標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于這兩種證券其他投資比例的組合，計(jì)算結(jié)果見表4—5。表4—5 不同投資比例的組合組合對(duì)A的投資比例對(duì)B的投資比例組合的期望收益率組合的標(biāo)準(zhǔn)差110％％2％％3％％4％％5％％6O1％％圖4—11描繪出隨著對(duì)兩種證券投資比例的改變，期望報(bào)酬率與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系。圖表中黑點(diǎn)與表4—5中的六種投資組合一一對(duì)應(yīng)。連接這些黑點(diǎn)所形成的曲線稱為機(jī)會(huì)集，它反映出風(fēng)險(xiǎn)與報(bào)酬率之間的權(quán)衡關(guān)系。該圖有幾項(xiàng)特征是非常重要的：1．它揭示了分散化效應(yīng)。比較曲線和以虛線繪制的直線的距離可以判斷分散化效應(yīng)的大小。該直線是由全部投資于A和全部投資于B所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)連接而成。它是當(dāng)兩種證券完全正相關(guān)（無分散化效應(yīng)）時(shí)的機(jī)會(huì)集曲線。從曲線和直線間的距離，我們可以看出本例的風(fēng)險(xiǎn)分散效果是相當(dāng)顯著的。投資組合的抵銷風(fēng)險(xiǎn)的效應(yīng)可以通過曲線1～2的彎曲看出來。從第1點(diǎn)出發(fā)，拿出一部分資金投資于標(biāo)準(zhǔn)差較大的B證券會(huì)比將全部資金投資于標(biāo)準(zhǔn)差小的A證券的組合標(biāo)準(zhǔn)差還要小。這種結(jié)果與人們的直覺相反，揭示了風(fēng)險(xiǎn)分散化的內(nèi)在特征。一種證券的未預(yù)期變化往往會(huì)被另一種證券的反向未預(yù)期變化所抵銷。盡管從總體上看，這兩種證券是同向變化的，抵銷效應(yīng)還是存在的，在圖中表現(xiàn)為機(jī)會(huì)集曲線有一段1～2的彎曲。0 10 12 14 16 18 20 標(biāo)準(zhǔn)差（%）1816141210期望報(bào)酬率（%）最小方差組合全部投資于B123456圖411 投資于兩種證券組合的機(jī)會(huì)集2．它表達(dá)了最小方差組合。曲線最左端的第2點(diǎn)組合被稱作最小方差組合，它在持有證券的各種組合中有最小的標(biāo)準(zhǔn)差。本例中，最小方差組合是80％的資金投資于A證券、20％的資金投資于B證券。離開此點(diǎn)，無論增加或減少投資于B證券的比例，都會(huì)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)差的小幅上升。必須注意的是，機(jī)會(huì)集曲線向點(diǎn)A左側(cè)凸出的現(xiàn)象并非必然伴隨分散化投資發(fā)生，它取決于相關(guān)系數(shù)的大小。3．它表達(dá)了投資的有效集合。在只有兩種證券的情況下，投資者的所有投資機(jī)會(huì)只能出現(xiàn)在機(jī)會(huì)集曲線上，而不會(huì)出現(xiàn)在該曲線上方或下方。改變投資比例只會(huì)改變組合在機(jī)會(huì)集曲線上的位置。最小方差組合以下的組合（曲線1～2的部分）是無效的。沒有人會(huì)打算持有預(yù)期報(bào)酬率比最小方差組合預(yù)期報(bào)酬率還低的投資組合，它們比最小方差組合不但風(fēng)險(xiǎn)大，而且報(bào)酬低。因此，機(jī)會(huì)集曲線1～2的彎曲部分是無效的，它們與最小方差組合相比不但標(biāo)準(zhǔn)差大（即風(fēng)險(xiǎn)大），而且報(bào)酬率也低。本例中，有效集是2～6之間的那段曲線，即從最小方差組合點(diǎn)到最高預(yù)期報(bào)酬率組合點(diǎn)的那段曲線。（四）相關(guān)性對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的影響圖4—11中，，就成為圖4—12。從圖4—12中看到：（1），并且沒有向點(diǎn)1左側(cè)凸出的現(xiàn)象。（2）最小方差組合是100％投資于A證券。將任何比例的資金投資于B證券，所形成的投資組合的方差都會(huì)高于將全部資金投資于風(fēng)險(xiǎn)較低的A證券的方差。因此，新的有效邊界就是整個(gè)機(jī)會(huì)集。（3）證券報(bào)酬率的相關(guān)系數(shù)越小，機(jī)會(huì)集曲線就越彎曲，風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng)也就越強(qiáng)。證券報(bào)酬率之間的相關(guān)性越高，風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng)就越弱。完全正相關(guān)的投資組合，不具有風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng)，其機(jī)會(huì)集是一條直線。0 10 12 14 16 18 20 標(biāo)準(zhǔn)差（%）1816141210期望報(bào)酬率（%）全部投資于A123456圖4—12 不同相關(guān)系數(shù)情況下的兩種證券組合的機(jī)會(huì)集（五）多種證券組合的風(fēng)險(xiǎn)和報(bào)酬對(duì)于兩種以上證券構(gòu)成的組合，以上原理同樣適用。值得注意的是，多種證券組合的機(jī)會(huì)集不同于兩種證券的機(jī)會(huì)集。兩種證券的所有可能組合都落在一條曲線上，而兩種以上證券的所有可能組合會(huì)落在一個(gè)平面中，見圖4一13的陰影部分所示。這個(gè)機(jī)會(huì)集反映了投資者所有可能的投資組合，圖中陰影部分中的每一點(diǎn)都與一種可能的投資組合相對(duì)應(yīng)。隨著可供投資的證