總結求矩陣的逆矩陣方法-資料下載頁
2025-10-14 12:37本頁面
【導讀】個階方陣A為可逆的,B為A的逆矩陣。下面對求逆矩陣方法進行全面論述,并做一步探討?？赡娴某湟獥l件0?對于三階以上方陣用該方法逆矩陣,不僅計算量大且易出錯,一般不用此種方。11來檢驗是否正確。定理如果n階方陣A可逆，則存在有限個初等矩陣，lPPP?的矩陣EA，然后對此矩陣施以初等行換，使A化為單位矩陣E同時化為1?例4設n階矩陣A滿足方程022???)32(，由定義可知，則經(jīng)過有限次上述變換后，D可以變?yōu)?初等變換，把已知可逆矩陣置于含單位矩陣的分塊矩陣中，以此求逆矩陣，有時比較簡單。它是從等價標準型的角度給出了可逆矩陣的一種求法，是教學上一種新的嘗試。
【正文】 32 AAA 中的每一個矩陣的各行各列只有一個元素是 1 或 1，其余均為0，但這樣的不同矩陣只能是有限個，故存在正整數(shù) ji, ，使 ji AA ? ，（ ji ? ），不妨設 ji? ，由條件知， A 等于 1 或 1，所以 A 可逆，且 EA ji ?? ，令 jik ?? 為正整數(shù)，則 EAk ? ， 即矩陣 A 式周期矩陣，且 11 ?? ? kAA 。 對于形如 TbaE ??? ，其中?????????????111?? ， Fba ?, 的矩陣的可逆性，得出了一個求逆公式。這里將其推廣，得到了如下結論： 定理 設矩陣 TpDC ???? ，其中 ? ?nddddiagD ?, 21? 是 n 階可逆的對角矩陣，F(xiàn)P? 為常數(shù)， ??, 是 n 維列向量，若可逆，則 1?C 也是具有矩陣 C 的形式。 證明 設? ?T21 , naaa ??? ， ? ?T21 , nbbb ??? ，為 n 維列向量， 利用 Woodbury 公式，得 T11T111 T1C ?????? ??????? ???? qDDDpPD ， 其中 ????? niiiidbappq11， T2211 , ??????????nndadada ?? ， T2211 , ??????????nndbdbdb ?? 。 即當 011 ?? ??ni iiidbap 時， C 可逆，且 1?C 也具有矩陣 C 的形式。 此定理的證 明實際上給出了這類矩陣可逆的條件及求逆逆矩陣的公式，用該公式球這類矩陣的逆比用常規(guī)的方法要簡單得多。 定理 設 n 階整數(shù)矩陣 A (即元素全為整數(shù) )，則 A 可逆且逆矩陣也是整數(shù)矩陣得充分必要條件是 1??A 證明 必要性 設 n 階整數(shù)矩陣 A 可逆且逆矩陣 也是整數(shù)矩陣，則存在整數(shù)矩陣 B ，使得EAB? ，從而 1?BA ，由于 BA, 都是整數(shù)，因此 1??A 充分性 設 1??A ,則 ??? ??? AAAA 11，由于 ?A 也是整數(shù)矩陣，于是 1?A 為整數(shù)矩陣。 定理 設 n 階可逆矩陣 A 的每一行（列）元素和都等于 a ，則 0?a ，且 1?A 得每一行（列）元素和都是等于 1?a 。 證明 下只證明行的結論列的結論同理可得。 由于 n ，階矩陣 ? ?ijaA? 的每一行元素和都等于 a ，即有 ?????????????????????????111111?? aA ， 因 A 可逆，知 0?a ，且 ???????????????????????????11111111?? aA ， 所以 1?A 的每一行（列）元素和都等于 1?a 。 例 1 設矩陣 ???????????????????1000000101212?????????bbbbbbAnn， ??????????????10001210321????????nnB 求 BA, 的逆矩陣 解 令 ?????????????????0000100001000010?????????H， 則 1122 ?????? nn HbHbbHEA ?， 1232 ????? nnHHHEB ?， 0?n 即 H 為冪零矩陣。 于是，由第定理 得 ???? bHEA 1???????????????????10000100000100001??????????bbb 21 2 HHEB ?????????????????????????????100000210000002100001210000121???????????? 例 2 設矩陣 ??????????????????nnnnnnxaaaaaaaxaaaaaaaxaC22122221212111???????可逆， 求 C 的逆矩陣。 解 令 ? ?T21 , naaa ??? ， ? ?nxxxdiagD , 21 ?? ， 則 T???? DC ，由第三個定理可得 T11 ?? ???? ?? qDC ， 這里sq ??? 11， ???ni iixas12 ， T2211 , ??????????nnxaxaxa ?? 也就是， sC ???? 1 11 ? ?? ?? ?????????????????????????????????2222112222222211221121211121111nnnnnnnnnnxxsaxxaaxxaaxxaaxxsaxxaaxxaaxxaaxxsa??????? 本章主要討論了幾種常見特矩陣的逆矩陣的存在性及其表現(xiàn)形式。從以上兩例可以看出，將有關矩陣轉化為這幾類特殊矩陣來求逆矩陣更加方便簡單。 參考文獻：線性代數(shù)（第二版）上海交通大學數(shù)學系 編（科學出版社）
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