總結(jié)求矩陣的逆矩陣方法-在線瀏覽
2024-12-26 12:37本頁面
【正文】 ?EA ??????????????????????001010100132310521100010001521310132 ??????????????????????????? 201010100910310521211010100600310521 ?????????????????????????????????????????316161100123210103461361001316161100010310100521 故???????????????????????3161611232134613611A 同理，如果 n 階矩陣 A 可逆，作一個(gè) nn?2 的矩陣 ??????EA，然后此矩陣施以初等變換，使矩陣 A 化為單位陣 E ，則同時(shí) E 化為 1?A ，即 ????????? ???????? ?1AEEA 初等列變換。 例 4 設(shè) n 階矩陣 A 滿足方程 022 ??? EAA 證明 EA 2? 可逆，并求它的逆矩陣 1)2( ?? EA 。 證明：首先構(gòu)造矩陣nnEEAD220 ???????? 然后對(duì) D 進(jìn)行行如下形式的初等變換： （ 1）對(duì) D 的前幾行 ? ?EA, 進(jìn)行初等的行變換 （ 2）對(duì) D 的前幾列 ??????EA進(jìn)行初等的列變換 則經(jīng)過有限次上述變換后， D 可以變?yōu)??????????? ????????? 00 B CEE EAD 初等行列變換 由此得 BCA ??1 此種方法在一般教材中很少提到，一般教材只介紹前三種方法，但若同時(shí)采用行和列的初等變換，把已知可逆矩陣置于含單位矩陣的分塊矩陣中，以此求逆矩陣，有時(shí)比較簡(jiǎn)單。 例 1：求可逆矩陣???????????100152131A 的逆矩陣 解：構(gòu)造矩陣?????????????????????????????????????????????000100000010000131100100112020001001000100000010000001100100010152001131D ??????????????????????????????????????? ?1001122351001120011000101311A 運(yùn)用 HamiltonCaley 定理求逆矩陣 由 HamiltonCaley 定 理 ： 設(shè) A 是數(shù)域 P 上的 n 階矩陣，nnnn aaaAEf ??????? ?? ????? 111)( ?為 A 的 特 征 多 行 式 ， 則0)( 111 ??????? ?? EaAaAaAAEAf nnnn ?? 設(shè) A 的特征多行式 nnnn aAaaAEf ?????? ?? 111)( ????? 若 A 可逆，則 0)1( ??? Aa nn 由 HamiltonCaley 定理得， 0111 ???? ?? EaAaAaA nnnn ?， 所以 EAEaAaAaAa nnnnn ????? ???? )(1 22211 ? 即 )(1222111 EaAaAaAaA nnnnn ????? ????? ?。故對(duì)大型且可分劃為以上的分塊矩陣，可用此法求逆矩陣。 例 1 求1 0 0 01 2 0 02 1 3 01 2 1 4A????? ????得逆矩陣 解：設(shè)21131 3241 42 431 0 0 0100210314XAXXX X X??????????????，先求 1A? 中主對(duì)角線下的次對(duì)角線上的元素 21X ，32X ， 43X ，再求 31X ， 42X 最后求 41X 。解得，43 112X ??； 31 32 21 1 1 0 03XX? ? ? ? ? ? ?；解得，31 12X ??； 41 42 43 20 2 1 04X X X? ? ? ? ? ? ?；解得，42 54X ??； 41 42 43 11 1 2 04X X X? ? ? ? ? ? ?；解得，43 18X ??。2,2,1(11 njnittatta jki kkikkjjjjjii ???? ??????? ? ?? 利用此定理可以求出其它各種類型三角矩陣的逆矩陣。根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)： ? ? ? ?TT AA 11 ?? ? ，再根據(jù)上定理可求三角矩陣 A 的逆矩陣。 例 1 已知 EA?6 試求 11A 并證明 111 AA ?? ， 其中???????????????21232321A 解：由 EA?6 得到 EAAAAAEA ??????? 116666 故 111 AA ?? ， 而 A 又為正交矩陣， TAA ??1 （其中 TA 為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣） 從而 ??????????????? ?21232321111 AA 同 時(shí)用行列變換求矩陣逆的方法 定理 如果用有限次行、列初等變換可將矩陣 A 化成單位矩陣 E ，且設(shè)用其中的行初等變換將單位矩陣 E 正化為 C ，用其中的列初等變換將單位矩陣 E 正化為 B ，那么BCA
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