立體幾何-異面直線成角求法習(xí)題-資料下載頁
2025-03-25 06:43本頁面
【正文】 B，所以∠C1OE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角△C1OE中 所以異面直線所成的角為圖1 解法2：補(bǔ)形法 在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體，將AC平移到BE，則∠D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3， 所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖2 解法3：利用公式 設(shè)OA是平面α的一條斜線，OB是OA在α內(nèi)的射影，OC是平面α內(nèi)過O的任意一條直線，設(shè)OA與OC、OA與OB、OB與OC所成的角分別是、2，則（注：在上述題設(shè)條件中，把平面α內(nèi)的OC換成平面α內(nèi)不經(jīng)過O點(diǎn)的任意一條直線，則上述結(jié)論同樣成立）D1B在平面ABCD內(nèi)射影是BD，AC看作是底面ABCD內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的一條直線，BD與AC所成的角為∠AOD，D1B與BD所成角為∠D1BD，設(shè)D1B與AC所成角為。 所以 所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖3 解法4：向量幾何法： 設(shè)為空間一組基向量 所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖4 解法5：向量代數(shù)法： 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC、DA、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2）， 所以異面直線A1C1與BD1所成的角為圖5 解法6：利用公式 定理：四面體A—BCD兩相對(duì)棱AC、BD間的夾角必滿足圖6解：連結(jié)BCA1B在四面體中，異面直線A1C1與BD1所成的角是，易求得圖7由定理得： 所以異面直線及其所成的角【教學(xué)目標(biāo)】1. 掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會(huì)用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面；，能求出一些較特殊的異面直線所成的角?！窘虒W(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】異面直線的概念、判定及計(jì)算它們所成的角?！窘虒W(xué)過程】（一）復(fù)習(xí)：1．公理4及等角定理；2．同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，觀察空間兩直線的位置關(guān)系。（二）新課講解：1．異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線。2．異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線。推理模式：與是異面直線。證明 ：假設(shè) 直線與共面，∵，∴點(diǎn)和確定的平面為，∴直線與共面于，∴，與矛盾，所以，與是異面直線．3．異面直線的畫法：例1．如圖，已知不共面的直線相交于點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，分別是上的一點(diǎn)。求證：和是異面直線。證（法一）：假設(shè)和不是異面直線，則與在同一平面內(nèi)，設(shè)為，∵，∴，又，∴，∵，∴，同理，∴共面于，與已知不共面相矛盾，所以，和是異面直線。（法二）：∵，∴直線確定一平面設(shè)為，∵，∴，∴且，又不共面，∴，所以，與為異面直線。4．異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）．說明：為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上。5．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線 垂直，記作． 例2．正方體中．（1） 那些棱所在的直線與直線是異面直線？（2） 求與夾角的度數(shù)．（3） 那些棱所在的直線與直線垂直？解：（1）由異面直線的判定方法可知，與直線成異面直線的有直線，（2）由，可知等于異面直線與的夾角，所以異面直線與的夾角為．（3）直線與直線都垂直。例3．空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，求異面直線所成的角。解：取中點(diǎn)，連結(jié)，∵分別是的中點(diǎn)，∴且，∴異面直線所成的角即為所成的角，在中，∴，異面直線所成的角為．說明：異面直線所成的角是銳角或直角，當(dāng)三角形內(nèi)角是鈍角時(shí)，表示異面直線所成的角是它的補(bǔ)角。五．鞏固練習(xí)：課本 練習(xí)1，2，3，4．六．小結(jié)：1．異面直線的概念、判斷及異面直線夾角的概念；2．證明兩直線異面的一般方法是“反證法”或“判定定理”；求異面直線的夾角的一般步驟是：“作—證—算—答”。 七．作業(yè)： 1．已知平面相交于直線，直線在內(nèi)與直線相交于點(diǎn)，直線在平面內(nèi)，且，求證：是異面直線。2．空間四邊形中，對(duì)角線，分別為的中點(diǎn)，且，求異面直線所成的角。3．在空間四邊形中，，且，分別為的中點(diǎn)，求及與所成角的正切值。【易錯(cuò)點(diǎn)61】在求異面直線所成角，直線與平面所成的角以及二面角時(shí)，容易忽視各自所成角的范圍而出現(xiàn)錯(cuò)誤。例6如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N，P分別為的中點(diǎn)。求異面直線所成的角。DCBAA1D1B1C1NMP[易錯(cuò)點(diǎn)分析]異面直線所成角的范圍是，在利用余弦定理求異面直線所成角時(shí)，若出現(xiàn)角的余弦值為負(fù)值，錯(cuò)誤的得出異面直線所成的角為鈍角，此時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)化為正值求出相應(yīng)的銳角才是異面直線所成的角。解析：如圖，連結(jié)，由為中點(diǎn)，則從而故AM和所成的角為所成的角。易證≌。所以，故所成的角為。又設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則又從而CN與AM所成的角就是（或其補(bǔ)角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角為?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在歷屆高考中，求夾角是不可缺少的重要題型之一，要牢記各類角的范圍，兩條異面直線所成的角的范圍：；直線與平面所成角的范圍：；二面角的平面角的取值范圍：。同時(shí)在用向量求解兩異面直線所成的角時(shí)，要注意兩異面直線所成的角與兩向量的夾角的聯(lián)系與區(qū)別?！揪?1】（濟(jì)南統(tǒng)考題）已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，且側(cè)棱和與的夾角都等于，（1）求對(duì)角線的長(zhǎng)（2）求直線與的夾角值。答案：（1）（2）（提示采用向量方法，以、為一組基底，求得故兩異面直線所成的角的余弦值為）
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