立體幾何-異面直線成角求法習(xí)題-wenkub
2023-04-09 06:43:12 本頁面
【正文】 ；由Ａ１Ｄ與BC異面知ｃ與ｄ為異面直線． 綜上可知ｃ與ｄ平行或異面． 正方體是一個(gè)很簡單且很重要的幾何模型．構(gòu)造它可直觀、簡捷地判斷線線、線面關(guān)系，特別是有關(guān)異面直線的問題易于解決． 下面一組題目供讀者思考練習(xí)： （1）無論怎樣選擇平面，兩條異面直線在該平面內(nèi)的射影都不可能是（ ）． A．兩條平行直線 B．兩條相交直線 C．一條直線和直線外一點(diǎn) D．兩個(gè)點(diǎn) （2）在空間中，記集合M={與直線l不相交的直線}，集合N={與直線l平行的直線}，則M與N的關(guān)系是（ ?。 ．M=NB．MN C．MND．不確定 （3）a、b、c是空間中的三條直線，則下述傳遞關(guān)系中，為真命題的是（ ?。 ．若a∥b,b∥c，則a∥c B．若a⊥b,b⊥c,則a⊥c C．若a與b相交，b與c相交，則a與c相交 D．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面 （4）同時(shí)與兩條異面直線都相交的兩條直線一定不是（ ?。 ．異面直線 B．相交直線 C．平行直線 D．垂直直線 （5）如圖72所示，正方體ABCDＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是異面直線Ａ１Ｄ和AC的公垂線，則直線EF和BＤ１的關(guān)系是（ ?。畧D72Ａ．異面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直 例2 在正三棱柱ＡＢＣＡ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，則AB１與Ｃ１Ｂ所成的角的大小為（ ?。オ粒?0176。 ABCDD1C1B1A1MN7．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是 （ ）（A）（B）（C）（D） 8．右圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，① BM與ED平行； ②CN與BE是異面直線；② ③CN與BM成角；④DM與BN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是 （ ）（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④9．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是 （ ）（A）平行 （B）平行和異面 （C）平行和相交 （D）異面和相交10．在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，且AE ：EF＝AF ：FD＝1 ：4，又H、G分別為BC、CD的中點(diǎn)，則 （ ） （A）BD//平面EFGH且EFGH是矩形 （B）EF//平面BCD且EFGH是梯形（C）HG//平面ABD且EFGH是菱形 （D）HE//平面ADC且EFGH是平行四邊形二、填空題11．如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)， G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn)，將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為 ．12．在四面體ABCD中，若AC與BD成60176。]6．如圖:正四面體S－ABC中，如果E，F(xiàn)分別是SC，AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于 （ ）（A）90176。] （C）[30176。直線c⊥a，則直線b與c所成的角的范圍為 （ ）（A）[30176。此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_________．三、平移(或構(gòu)造)幾何體有些問題中，整體構(gòu)造或平移幾何體，能簡化解題過程.例3(2005年全國高考天津卷)如圖，平面，且，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于_____．1. 解：連B1G，則A1E∥B1G，知∠B1G F就是異面直線A1E與GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF＝＝0， 故∠B1G F＝90176。應(yīng)選(D)．2評注：本題是過異面直線FG上的一點(diǎn)G，作B1G，則A1E∥B1G，知∠B1G F就是所求的角，從而納入三角形中解決．解：取AE中點(diǎn)G, 連結(jié)GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED． ∴ GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG為平行四邊形，∴MN//BG∵A的射影為B．∴AB⊥面BCDE．∴∠BEA＝∠BAE＝45176。90176。60176。（B）45176。角，且AC＝BD＝a，則連接AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)的四邊形面積為 ．BACDA13．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，則異面直線AB1與 A1D所成的角的余弦值為 ．14．把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，使A、C的距離等于a，如圖所示，則異面直線AC和BD的距離為 ．三、 解答題15．已知AB、BC、CD為不在同一平面內(nèi)的三條線段，AB，BC，CD的中點(diǎn)P、Q、R滿足PQ＝2，QR＝，PR＝3，求AC與BD所成的角．16．已知P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分別為PA和BC的中點(diǎn)．（1）求證：EF與PC是異面直線；（2）EF與PC所成的角；（3）線段EF的長．17．如圖，AB和CD是兩異面直線，BD是它們的公垂線，AB＝CD，M是BD的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥AC；（2）當(dāng)AB＝CD＝a，BD＝b，AC＝c時(shí)，求MN的長．18．（如圖）已知P、Q是棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心．（1）求線段PQ的長
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