異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角專題復(fù)習(xí)與提高-資料下載頁(yè)
2025-04-16 23:16本頁(yè)面
【正文】 0176。，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝.(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大?。?1)證明 如圖所示,連接BD,由ABCD是菱形且∠BCD＝60176。知，△BCD是等邊三角形．因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以PB⊥⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，則∠PBA＝60176。.故二面角A—BE—P的大小是60176。.21．已知平面α外兩點(diǎn)A、B到平面α的距離分別為1和2，A、B兩點(diǎn)在α內(nèi)的射影之間距離為，求直線AB和平面α所成的角．解 (1)如圖(1)，當(dāng)A、B位于平面α同側(cè)時(shí)，由點(diǎn)A、B分別向平面α作垂線，垂足分別為AB1，則AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BB1于H，則AB和α所成角即為∠HAB.而tan∠BAH＝＝.∴∠BAH＝30176。.(2)如圖(2)，當(dāng)A、B位于平面α異側(cè)時(shí)，經(jīng)A、B分別作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，則A1B1為AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成角．∵△BCB1∽△ACA1，∴＝＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，∴B1C＝.∴tan∠BCB1＝＝＝，∴∠BCB1＝60176。，∴AB與α所成角為60176。.綜合(1)、(2)可知：AB與平面α所成角為30176。或60176。.22. 如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90176。，點(diǎn)D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求證：BC⊥ 平面PAC.(2)是否存在點(diǎn)E使得二面角A—DE—P為直二面角？并說(shuō)明理由(1)證明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥∠BCA＝90176。，∴AC⊥∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP為二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90176。.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥∠AEP＝90176。，故存在點(diǎn)E，使得二面角A—DE—P為直二面角．10
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