【正文】 穩(wěn)定中心）。 滿足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的點(diǎn)（x）, 稱為方程組的奇點(diǎn)。 若都是=A(t)X的基解矩陣，則 具有關(guān)系：（）。 形如（x+ax+的方程稱為歐拉方程。 二、計(jì)算題求下列方程的通解（１－２）１、（２xy+解：因?yàn)椤　∮忠驗(yàn)椤　∷苑匠逃蟹e分因子：u(x)= 方程兩邊同乘以得：［也即方程的解為?。病⒔猓毫?，則　　即　　從而　　又　　　?。健　」试匠痰耐ń鉃椤　　　　為參數(shù)３、求方程經(jīng)過（０，０）的第三次近似解解：　　　　　　　　　　　　?。剑?、求的通解解：齊線性方程的特征方程為　　故齊線性方程的一個(gè)基本解組為，　　因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰奶卣鞲　∷栽接行稳纾降奶亟狻　ⅲ酱朐匠?，比較t的同次冪系數(shù)得：　　　　故有解之得：，　　所以原方程的解為：　　　５、試求：的基解矩陣解：記A=,又得，均為單根設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，則由得　　　　　　取同理可得對(duì)應(yīng)的特征向量為：則均為方程組的解令又所以即為所求。６、試求的奇點(diǎn)類型及穩(wěn)定性解：令，則：　因?yàn)?，又由得解之得為兩相異?shí)根，且均為負(fù)故奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的零解是漸近穩(wěn)定的。7. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。解：由物理知識(shí)得：根據(jù)題意：故：即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有又當(dāng)t=0時(shí)，V=0，故c=因此，此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系為：常微分方程期中測(cè)試試卷(1)一、填空1 微分方程的階數(shù)是____________2 若和在矩形區(qū)域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù),且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是 _________________________3 _________________________________________ 稱為齊次方程.4 如果___________________________________________ ,則存在唯一的解,定義于區(qū)間上,連續(xù)且滿足初始條件,其中 _______________________ .5 對(duì)于任意的, (為某一矩形區(qū)域),若存在常數(shù)使 ______________________ ,則稱在上關(guān)于滿足利普希茲條件.6 方程定義在矩形區(qū)域:上 ,則經(jīng)過點(diǎn) 的解的存在區(qū)間是 ___________________ 7 若是齊次線性方程的個(gè)解,為其伏朗斯基行列式,則滿足一階線性方程 ___________________________________8 若為齊次線性方程的一個(gè)基本解組,為非齊次線性方程的一個(gè)特解,則非齊次線性方程的所有解可表為 _________________________9 若為畢卡逼近序列的極限，則有　__________________10 _________________________________________　稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解　，則經(jīng)過變換　___________________　，可化為伯努利方程．二　求下列方程的解１　２　　求方程經(jīng)過的第三次近似解３　　討論方程　，的解的存在區(qū)間　4 求方程的奇解5 6 7 三 證明題1 試證:若已知黎卡提方程的一個(gè)特解,則可用初等積分法求它的通解2 試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明:一階線性方程, 當(dāng) , 在上連續(xù)時(shí),其解存在唯一參考答案一 填空題1 12 3 形如的方程4 在上連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茲條件 5 6 7 8 9 10 形如的方程 二 求下列方程的解1 解：　，則　　所以　另外　　也是方程的解　2 解：3 解：兩邊積分　　所以　方程的通解為　故　過的解為　通過點(diǎn)　的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到　２，所以解的存在區(qū)間為　4 解: 利用判別曲線得 消去得 即 所以方程的通解為 , 所以 是方程的奇解5 解: =, = , =, 所以方程是恰當(dāng)方程. 得 所以故原方程的解為 6 解: ,令, 則方程可化為, 即 , 故 7 解: 兩邊同除以得所以 , 另外 也是方程的解三 證明題1 證明: 設(shè)黎卡提方程的一個(gè)特解為 令 , 又 由假設(shè) 得 此方程是一個(gè)的伯努利方程,可用初等積分法求解2 證明: 令: , , 在上連續(xù), 則 顯然在上連續(xù) ,因?yàn)? 為上的連續(xù)函數(shù) ,故在上也連續(xù)且存在最大植 , 記為 即 , , =因此 一階線性方程當(dāng), 在上連續(xù)時(shí),其解存在唯一常微分方程期中測(cè)驗(yàn)試卷(2)1．辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：(12%)（1） （2） （3）（4） （5） （6）填空題(8%)（1）．方程的所有常數(shù)解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則用這兩個(gè)解可把其通解表示為________________.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通積分是________________.（4）.設(shè)M(x0, y0)是可微曲線y= y(x)上的任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線在x軸和y軸上的截距分別是_________________.單選題(14%)（1）．方程是（ ）.(A)可分離變量方程 （B）線性方程(C)全微分方程 （D）貝努利方程（2）．方程，過點(diǎn)（0，0）有（ ）.(A) 一個(gè)解 （B）兩個(gè)解 (C) 無(wú)數(shù)個(gè)解 （D）三個(gè)解（3）．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常數(shù)解是（ ）.(A)y=177。1, x=177。1, (B) y=177。1(C) x=177。1 (D) y=1, x=1（4）．若函數(shù)y(x)滿足方程，且在x=1時(shí)，y=1, 則在x = e時(shí)y=( ).(A) (B) (C)2 (D) e（5）．階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（ ）線性空間．（A）維 （B）維 （C）維 （D）維 （6）. 方程（ ）奇解．　?。ˋ）有三個(gè) （B）無(wú) （C）有一個(gè) （D） 有兩個(gè)（7）．方程過點(diǎn)（ ）． （A）有無(wú)數(shù)個(gè)解 （B）只有三個(gè)解 （C）只有解 （D）只有兩個(gè)解(40%) 求下列方程的通解或通積分： （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 5. 計(jì)算題(10%)求方程的通解．6．證明題（16%）設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)可微，且．求證：方程 的非常數(shù)解，當(dāng)時(shí)，有，那么必為或．參考答案：1．辨別題（1）一階，非線性 （2）一階，非線性 （3）四階，線性（4）三階，非線性 （5）二階，非線性 （6）一階，非線性2．填空題 （1）． （2）．（3）． （4）．3．單選題（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A4. 計(jì)算題（1）．解 當(dāng)時(shí)，分離變量得 等式兩端積分得 即通解為 （2）．解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + （3）．解 由于，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通積分為 即 （4）. 令，則，代入原方程，得 ， 當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得 ，即： 5. 計(jì)算題 令，則原方程的參數(shù)形式為 由基本關(guān)系式 ，有 積分得 得原方程參數(shù)形式通解為 5．計(jì)算題解 方程的特征根為， 齊次方程的通解為 因?yàn)椴皇翘卣鞲?。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數(shù)得 確定出 ， 原方程的通解為 6 . 證明題證明 由已知條件，方程在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件，因此，它的任一解都可延展到平面的無(wú)窮遠(yuǎn)。 （2分） 又由已知條件，知是方程的一個(gè)解。 （4分） 假如方程的非常數(shù)解對(duì)有限值有，那么由已知條件，該解在點(diǎn)處可向的右側(cè)（或左側(cè)）延展．這樣，過點(diǎn)就有兩個(gè)不同解和．這與解的唯一性矛盾，因此不能是有限值．常微分方程期中測(cè)試卷 (3)一、填空，它有積分因子 。，方程稱為恰當(dāng)方程，或全微分方程。且它只含的積分因子的充要條件是___________。有只含的積分因子的充要條件是_________________。3. ____________________稱為伯努利方程，它有積分因子______________ 。，通過_______________，可化為奇次方程；當(dāng)時(shí)，令______________，化為變量分離方程。5. ______________________稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解，則經(jīng)過變換_________________，可化為伯努利方程。，如果存在常數(shù)L0,使，使不等式_____________________。，則存在唯一解定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件其中_________________。，滿足初始條件的解，則是積分方程____________________的定義于上的連續(xù)解，如果_____________________________,也就是說(shuō)奇解是這樣的一個(gè)解，在它上面的每一點(diǎn)唯一性都不成立。二、求解下列方程的通解三、計(jì)算求初值問題四、證明 假設(shè)方程中函數(shù)，=,其中f(x)，g(y)分別為的連續(xù)函數(shù)，試證 ：此方程有積分因子答案一、 填空的方程 坐標(biāo)平移 在R上連續(xù)且關(guān)于利普希茲條件 在這個(gè)解的每一點(diǎn)上至少還有方程的另外一個(gè)解存在二、 通求解 解：為一階線性方程 代入公式，得方程的通解為解： 為一階線性方程