參數(shù)估計(jì)習(xí)題解答-資料下載頁
2025-03-24 23:27本頁面
【正文】 θ206。Θ,有則稱為θ的1α同等置信區(qū)間..3．置信限 在上述記號(hào)下,若給定的α(0α1),和任意的θ206。Θ有則稱為 θ的1α同等置信下限,假如等號(hào)對(duì)一切,有則稱為θ的1α同等置信上限. 尋找同等置信區(qū)間常采用樞軸量法,其步驟如下：l ；l 適當(dāng)?shù)剡x擇兩個(gè)常數(shù)c,d,使對(duì)給定的α,(0α1),有P(c163。G163。d)=1α。l 若能將不等式c163。G163。d等價(jià)變形為則有為θ的1α同等置信區(qū)間. 關(guān)于置信區(qū)間的構(gòu)造有兩點(diǎn)說明l 滿足置信度要求的c,d通常不唯一,若有可能,應(yīng)選平均長度達(dá)到最短的c,d,這在G的分布為對(duì)稱分布的場(chǎng)合往往容易實(shí)現(xiàn).l 實(shí)際中,選平均長度盡可能短的c,d往往很難實(shí)現(xiàn),因此通常這樣選擇c,d,是的兩個(gè)尾部概率各為a/2,即P(Gc)=P(Gd)=a/2,.5常用的置信區(qū)間(1).設(shè)x1,x2,…,xn是來自的樣本,為均值,s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差,up為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù),為自由度是 k的t分布 為自由度是 k的c2分布的p分位數(shù),取置信水平為1a，則m,s2,s的置信區(qū)間如下表所示參數(shù)樞軸量置信區(qū)間ms已知s未知s2m已知m未知sm已知m未知(1).設(shè)x1,x2,…,xm是來自的樣本,為均值,sx為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 設(shè)y1,y2,…,ym是來自的樣本,為均值,sy為樣本標(biāo)準(zhǔn)差,up為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù),為自由度是 k的t分布,為自由度是 (k1,k2)的F分布的p分位數(shù),取置信水平為1a, 則均值差m1m2,方差比s12/s22的置信區(qū)間如下表所示參數(shù)樞軸量置信區(qū)間均值差m1m2,s12與s22已知s12與s22未知,但s12=s22其中s22/s12=q已知其中m,n都很大時(shí)一般場(chǎng)合 注：這里 ,l為最接近于的整數(shù)方差比s12/s22m1，m2已知m1，m2之一未知1. 某廠生產(chǎn)的化纖強(qiáng)度服從正態(tài)分布,長期以來其標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在=,現(xiàn)抽取了一個(gè)容量為n=25的樣本,測(cè)定其強(qiáng)度,算得樣本均值為=,.解 ,查表知,=[,+],[,].2. 總體X~N(,),已知,問樣本容量取多大時(shí)才能保證的置信水平為95%的置信區(qū)間的長度不大于.解 其區(qū)間長度為2,若使2,只需.由于=,故,即樣本容量至少取時(shí),才能保證的置信水平為95%的置信區(qū)間的長度不大于.3．,已知Y=lnX服從正態(tài)分布N(,1).(1) 求的置信水平為95%的置信區(qū)間；(2) 求X的數(shù)學(xué)期望的置信水平為95%的置信區(qū)間.解 (1) 將數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)交換,得到Y(jié)=lnX的樣本值為:,(,1)的樣本,其樣本均值為=0,由于=1已知,因此,的置信水平為95%的置信區(qū)間為: =[,].(2) 由于EX=是的嚴(yán)增函數(shù),利用(1)的結(jié)果,可算得X的數(shù)學(xué)期望的置信水平為95%的置信區(qū)間為[,]=[,].4．用一個(gè)儀表測(cè)量某一物理量9次,得樣本均值=,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=.(1) 測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差大小反映了測(cè)量儀表的精度,；(2) .解 (1)此處(1)=8=,查表知(8)=,=,的1置信區(qū)間為=,=[,][,].(2) 當(dāng) s 未知時(shí),的1置信區(qū)間為[,].查表得(8)=,[,+]=[,].5．已知某種材料的抗壓強(qiáng)度X~N(),現(xiàn)隨機(jī)地抽取10個(gè)試件進(jìn)行抗壓試驗(yàn),測(cè)得數(shù)據(jù)如下：482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 .(1) 求平均抗壓強(qiáng)度的置信水平為95%的置信區(qū)間；(2) 若已知=30,求平均抗壓強(qiáng)度置信水平面為95%的置信區(qū)間；(3) 求的置信水平為95%的置信區(qū)間.解: (1) 經(jīng)計(jì)算得,=, s=, 在未知時(shí),的置信水平為95%的置信區(qū)間為[,].查表得,(9)=,因而的置信水平為95%的置信區(qū)間為[,+]=[,].(2)在=30已知時(shí),的置信水平為95%的置信區(qū)間為查表得,=,置信水平為95%的置信區(qū)間為[30/,+30/]=[,].(3) 此處,(1) =,取=,查表得(9)=,因而s2的置信水平為95%的置信區(qū)間為由此可以得到的置信水平為95%的置信區(qū)間為[,].,發(fā)現(xiàn)有11件不合格品,.解: 此處n=80較大,—近似置信區(qū)間為.,是來自泊松分布的樣本,證明：當(dāng)樣本量n較大時(shí),的近似1置信區(qū)間為證 由中心極限定理知,當(dāng)樣本量n較大時(shí),樣本均值,因而,此u可作為樞軸量,對(duì)給定,利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)可得括號(hào)里的事件等價(jià)于,因而得其左側(cè)的二次多項(xiàng)式二次項(xiàng)系數(shù)為正,故二次曲線開口向上,而其判別式故此二次曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn),記為和,則有,其中和可表示為這就證明了的近似置信區(qū)間為事實(shí)上,上述近似區(qū)間是在n比較大時(shí)使用的,此時(shí)有,為合理進(jìn)貨,數(shù)據(jù)如下：.解:平均月銷售量 此處a=,較大,利用上一題的結(jié)果,若用較為精確的近似公式,所得置信區(qū)間為[,],二者相差不大.,可計(jì)算得（1） 若已知求的置信水平為95%的置信區(qū)間；（2） 若已知求的置信水平為95%的置信區(qū)間；（3） 若對(duì)一無所知,求的置信水平為95%的近似置信區(qū)間；（4） 求的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：(1) 在都已知時(shí),的1的置信區(qū)間為經(jīng)計(jì)算，=196，因而的置信水平為95%的置信區(qū)間為(2)當(dāng)時(shí)，的置信區(qū)間為這里=，因而的置信水平為95%的置信區(qū)間為(3)當(dāng)未知時(shí)，由于兩個(gè)樣本量不是很大，故采用一般場(chǎng)合下的近似置信區(qū)間，即的近似置信區(qū)間為這里又查表得因而的置信水平為95%的近似區(qū)間為=(4)的置信水平的置信區(qū)間為查表得因而的置信水平為95%的置信區(qū)間為10．，乙兩地區(qū)18歲~25歲女青年身高數(shù)據(jù)如下：甲地區(qū)抽取10名，；乙地區(qū)抽取10名，：(1) 兩正態(tài)總體方差比的置信水平為95%的置信區(qū)間；(2) 兩正態(tài)總體均值差的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：設(shè)為甲地抽取的女青年身高，為乙地抽去的女青年身高，由題設(shè)條件，(1)的的置信區(qū)間此處，查表由此，的置信水平為95%的置信區(qū)間為(2)由(1)，的置信水平為95%的置信區(qū)間包含1，因此有一定理由假定兩個(gè)正態(tài)總體的方差相等，此時(shí)，查表得故兩正態(tài)總體均值差的置信水平為95%的置信區(qū)間為=還有另一種解法就是不對(duì)方差相等做假設(shè)，而采用近似方法求均值差的置信區(qū)間，由于，查表得從而兩正態(tài)總體均值差的置信水平為95%的近似置信區(qū)間為[]=[，]這二個(gè)置信區(qū)間相差不算太小，所以在應(yīng)用中條件“方差相等”是否成立是要加以考證
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