【正文】 解：(1)A={1 在首位的五位數(shù)}，B={5 在末位的五位數(shù)}，　　則原題即求 n( )。 　　已知n( )=n(B)n(A∩B)，　　易知n(B)= ，n(A∩B)= , 　　(即1在首位，5在末位的五位數(shù)的個(gè)數(shù))，n( )= =18，　　因而滿足已知條件的五位數(shù)有18個(gè)。 　　(2)設(shè)A={2與4相鄰的五位數(shù)}，B={3與4相鄰的五位數(shù)}，則原題即求n( )?！　∮赡Ω?、容斥原理及性質(zhì)2，　　有n( )=n( )=n(IA∪B)=n(I)n(A∪B)=n(I)n(A)n(B)+n(A∩B)　　　　　　　　= =36，即有36個(gè)滿足已知條件的數(shù)。 　　說明：其中n(I)表示由數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)，即它們的全排列數(shù)，n(A∩B)表示2與4相鄰且3與4相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)，那么4一定排在2與3之間，且2，4，3相鄰，故有 種排法。 　　例38　將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不同的填法有多少種? 　　解：設(shè)Ai(i=1,2,3,4)表示i填在標(biāo)號(hào)為i的方格內(nèi)，且其余格子都填滿的所有填法的集體，　　則原題即求n ，由摩根律及容斥原理，有 　　 n 　　=n( )　　=n(I)n(A1∪A2∪A3∪A4) 　　=n(I) (Ai∩Ah∩Aj)+n(A1∩A2∩A3∩A4) 　　= 。　　即有9種填法。 　　說明：系數(shù) 代表從集合AAAA4中每次取出1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)組成交集的個(gè)數(shù)， 　　例39　男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形下各有多少種選派方法? 　　(1)隊(duì)長至少有1人參加；(2)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員。 　　解：(1)設(shè)A={選派5人有男隊(duì)長參加的}，B={選派5人有女隊(duì)長參加的},則原題即求n(A∪B),　　而n(A∪B)=n(A)+n(B)n(A∩B)，　　n(A)= =n(B), n(A∩B)= , 　　故n(A∩B)=2 =196。 　　另解：設(shè)A={選派5人有1個(gè)隊(duì)長參加的}，B={選派5人有2個(gè)隊(duì)長參加的}，則原題即求n(A∪B), 　　n(A)= , n(B)=, n(A∩B)=n()=0，　　因此n(A∪B)=n(A)+n(B)=+=196。 　　說明：A∩B即選派5人既要有1個(gè)隊(duì)長參加又要有2個(gè)隊(duì)長參加這件事，這是不可能事件。 　　(2)設(shè)A={選派5人有隊(duì)長參加的}，B={選派5人有女運(yùn)動(dòng)員參加的}，則原題即求n(A∩B)， 　　又n(A∩B)=n(I)n()=n(I)n() 　　　　　　 =n(I)n()n()+n()==191?！　〖从?91種選派方法。 　　說明：即選派5人，既無隊(duì)長又無女運(yùn)動(dòng)員參加。 　　從以上3例我們可以看出，用集合與對(duì)應(yīng)思想分析處理排列組合問題，實(shí)質(zhì)上就是將同一問題中滿足不同限制條件的元素的排列或組合的全體與不同的集合之間建立相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而將各限制條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的運(yùn)算關(guān)系，通過計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù)來計(jì)算排列或組合的個(gè)數(shù)，這有助于將帶有多個(gè)附加條件的排列或組合問題分解為只有1個(gè)或簡單幾個(gè)附加條件的排列或組合問題來處理，這可大大簡化復(fù)雜的分類過程，從而降低了問題的難度。 　　例40　如果從數(shù)1，2，…，14中，按從小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時(shí)滿足a2a1≥3與a3a2≥3，那么所有符合上述要求的不同取法共有多少中? 　　解：設(shè)S={1，2，……，14}，T={1，2，……，10}； 　　P={(a1,a2,a3)|a1,a2,a3∈S, a2a1≥3, a3a2≥3}，　　Q={(b1,b2,b3)|b1,b2,b3∈T, b1b2b3}, 　　f: (a1, a2,a3)→(b1,b2,b3)，其中b1=a1，b2=a22，b3=a34?！　∫鬃Cf是P和Q之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，所以題目所求的取法種數(shù)恰好等于從T中任意取出三個(gè)不同數(shù)的取法種數(shù)，共 =120種。 　　例41　在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽(即一場(chǎng)比賽失敗要退出比賽)，最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場(chǎng)? 　　分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需淘汰掉冠軍以外的所有其它選手，即要淘汰99名選手，要淘汰一名選手，必須進(jìn)行一場(chǎng)比賽；反之，每比賽一場(chǎng)恰淘汰一名選手，兩者之間一一對(duì)應(yīng)，故立即可得比賽場(chǎng)次99次。 　　十三、特征分析、試驗(yàn)策略 　　研究有約束條件的排列數(shù)問題，須緊扣題目所提供的數(shù)字特征、結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理、分析求解。 　　例42　由1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)可組成多少個(gè)無重復(fù)且是6的倍數(shù)的五位數(shù)。 　　分析數(shù)字特征：6的倍數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。其中3的倍數(shù)又滿足“各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)”的特征，把6個(gè)數(shù)分成4組(3)，(6)，(1，5)，(2，4)，每組的數(shù)字和都是3的倍數(shù)，因此可分成兩類討論：第一類：由1，2，4，5，6作數(shù)碼：首先從2，4，6中任選一個(gè)作個(gè)位數(shù)字有 ，然后其余四個(gè)數(shù)在其它數(shù)位上全排列有 ，所以N1= 。第二類：由1，2，3，4，5作數(shù)碼，依上法有N= 。故N=N1+N2=120(個(gè))。 　　例43　從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于100則不同的取法有 （　 ） 　　A．50種　　　　C．1275種　　D．2500種 　　分折：此題數(shù)字較多，情況也不一樣，需要分拆摸索其規(guī)律。為了方便，兩個(gè)加數(shù)中以較小的數(shù)為被加數(shù)，因?yàn)?+100=101＞100，1為被加數(shù)的有1種；同理，2為被加數(shù)的2種；…；49為被加數(shù)有49種；50為被加數(shù)的有50種，但51為被加數(shù)只有49種；52為被加數(shù)只有48種；…；99為被加數(shù)的只有1種。故不同的取法共有：(1+2+…+50)+(49+48+…+1)=2500種，選D。 　　例44　將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)格填1個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有　 (　 ) 　　A．6種　　B．9種　　C. 11種　　D. 23種 　　分析：考察排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用試驗(yàn)法逐步解決。 　　第一方格內(nèi)可填2或3或4，如填2，則第二方格內(nèi)可填1或3或4。若第二方格內(nèi)放1，則第三方格只能填4，第四方格填3。若第二方格填3，則第三方格應(yīng)填4，第四方格應(yīng)填1。同理，若第二方格填4，則第三、四方格應(yīng)分別填3，因而，第一方格放2共有3種方法。同理，第一格放3或4也各有3種，所以共有9種方法，選B。這里用到了試驗(yàn)的技巧。 　　十四、解決允許重復(fù)排列問題——采用“住店”轉(zhuǎn)化策略 　　解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法稱為“住店法”。 　　例45　七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍。獲得冠軍的可能的種數(shù)有　 (　 ) 　　A．75　　B．57　　C．　　D． 　　分析：因同一學(xué)生可同時(shí)奪得幾項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列。將七名學(xué)生看作七家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”。每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得75種，選A。 　　以上介紹了排列組合應(yīng)用題的幾種常見求解策略。這些策略不是彼此孤立的，而是相互依存、相互為用的。有時(shí)解決某一問題時(shí)綜合運(yùn)用幾種求解策略，此外有特殊、優(yōu)序、類比等策略，限于篇幅不一一贅述。