二次函數(shù)七大綜合專題-資料下載頁
2025-03-24 06:23本頁面
【正文】 ∠PCH=45176。，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，則有∴CP==3∴PH=3247。=3，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)有4個(gè)，分別為P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)解析式及相似三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論三角形相似的不同情況，結(jié)合特殊角的使用來求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．二次函數(shù)與圓的性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016?巴中第31題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），該拋物線的對(duì)稱軸與直線y=x相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線y=x上（不與原點(diǎn)重合），連接PD，過點(diǎn)P作PF⊥PD交y軸于點(diǎn)F，連接DF．（1）如圖①所示，若拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，求拋物線的解析式；（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②所示，小紅在探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，∠PDF的大小為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于直線y=x上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合），∠PDF的大小為定值．請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）先提取公式因式將原式變形為y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣2，故此可知當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=6，于是可求得m的值；（2）由（1）的可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（3）先由一次函數(shù)的解析式得到∠PBF的度數(shù)，然后再由PD⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，證明點(diǎn)O、D、P、F共圓，最后依據(jù)圓周角定理可證明∠PDF=60176。．【解答】解：（1）∵y=mx2+4mx﹣5m，∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，∵m≠0，∴x=﹣5或x=1．∴A（﹣5，0）、B（1，0）．∴拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣2．∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為為6，∴﹣9m=6．∴m=﹣．∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+．（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）．（3）如圖所示：∵OP的解析式為y=x，∴∠AOP=30176。．∴∠PBF=60176。∵PD⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，∴∠DPF=∠FOD=90176。．∴∠DPF+∠FOD=180176。．∴點(diǎn)O、D、P、F共圓．∴∠PDF=∠PBF．∴∠PDF=60176。．二次函數(shù)與方程根和關(guān)系的關(guān)系、函數(shù)值大小比較有關(guān)的綜合題【題17】（2016?廣州第24題）已知拋物線與x軸相交于不同的兩點(diǎn),（1） 求的取值范圍（2） 證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3） 當(dāng)時(shí)，由（2）求出的點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)成的的面積是否有最值，若有，求出最值及相對(duì)應(yīng)的值；若沒有，請(qǐng)說明理由.［難易］ 綜合性強(qiáng)［考點(diǎn)］ 根的判別式，韋達(dá)定理，最值的求法［解析］ （1）根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍，注意（2）令,得出,故過定點(diǎn)P(3,4)（3）利用韋達(dá)定理寫出AB的長度，再根據(jù)m的取值范圍，求出面積的范圍［參考答案］ （1） 根據(jù)已知可知所以 所以所以m的取值范圍為且.（2） 令，則,令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以拋物線過定點(diǎn)（－1，0），（3，4），因?yàn)椋ǎ?，0）在x軸上，所以拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上一點(diǎn)P，P的坐標(biāo)為(3,4)（3） 設(shè)A,B的坐標(biāo)為,則因?yàn)?所以,所以＝2AB＝因?yàn)?所以,所以,所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為＝
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