二次函數七大綜合專題-資料下載頁
2025-03-24 06:23本頁面
【正文】 ∠PCH=45176。，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若點P在y軸左側，則把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，則有∴CP==3∴PH=3247。=3，若點P在y軸右側，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若點P在y軸左側，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合題意得點P坐標有4個，分別為P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質、一次函數解析式及相似三角形性質，解題的關鍵是分類討論三角形相似的不同情況，結合特殊角的使用來求出點P的坐標．二次函數與圓的性質有關的綜合題（2016?巴中第31題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），該拋物線的對稱軸與直線y=x相交于點E，與x軸相交于點D，點P在直線y=x上（不與原點重合），連接PD，過點P作PF⊥PD交y軸于點F，連接DF．（1）如圖①所示，若拋物線頂點的縱坐標為6，求拋物線的解析式；（2）求A、B兩點的坐標；（3）如圖②所示，小紅在探究點P的位置發(fā)現：當點P與點E重合時，∠PDF的大小為定值，進而猜想：對于直線y=x上任意一點P（不與原點重合），∠PDF的大小為定值．請你判斷該猜想是否正確，并說明理由．【考點】二次函數綜合題．【分析】（1）先提取公式因式將原式變形為y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函數圖象與x軸的交點坐標，從而可求得點A、B的坐標，然后依據拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為x=﹣2，故此可知當x=﹣2時，y=6，于是可求得m的值；（2）由（1）的可知點A、B的坐標；（3）先由一次函數的解析式得到∠PBF的度數，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，證明點O、D、P、F共圓，最后依據圓周角定理可證明∠PDF=60176。．【解答】解：（1）∵y=mx2+4mx﹣5m，∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，∵m≠0，∴x=﹣5或x=1．∴A（﹣5，0）、B（1，0）．∴拋物線的對稱軸為x=﹣2．∵拋物線的頂點坐標為為6，∴﹣9m=6．∴m=﹣．∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+．（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）．（3）如圖所示：∵OP的解析式為y=x，∴∠AOP=30176。．∴∠PBF=60176?！逷D⊥PF，FO⊥OD，∴∠DPF=∠FOD=90176。．∴∠DPF+∠FOD=180176。．∴點O、D、P、F共圓．∴∠PDF=∠PBF．∴∠PDF=60176。．二次函數與方程根和關系的關系、函數值大小比較有關的綜合題【題17】（2016?廣州第24題）已知拋物線與x軸相交于不同的兩點,（1） 求的取值范圍（2） 證明該拋物線一定經過非坐標軸上的一點，并求出點的坐標；（3） 當時，由（2）求出的點和點構成的的面積是否有最值，若有，求出最值及相對應的值；若沒有，請說明理由.［難易］ 綜合性強［考點］ 根的判別式，韋達定理，最值的求法［解析］ （1）根據根的判別式求出m的取值范圍，注意（2）令,得出,故過定點P(3,4)（3）利用韋達定理寫出AB的長度，再根據m的取值范圍，求出面積的范圍［參考答案］ （1） 根據已知可知所以 所以所以m的取值范圍為且.（2） 令，則,令得，當時，；當時，；所以拋物線過定點（－1，0），（3，4），因為（－1，0）在x軸上，所以拋物線一定經過非坐標軸上一點P，P的坐標為(3,4)（3） 設A,B的坐標為,則因為,所以,所以＝2AB＝因為,所以,所以,所以當時，有最大值，最大值為＝
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