二次函數(shù)七大綜合專題-wenkub
2023-04-08 06:23:38 本頁面
【正文】 稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為B.⑴若直線y＝mx＋n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；⑵在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；⑶設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．第25題圖參考答案：解：（1）依題意，得 解之，得∴拋物線解析式為． …………………………………………2分第25題圖 ∵對稱軸為x＝－1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），∴B（－3，0）．把B（－3，0）、C（0，3）分別直線y＝mx＋n，得 解之，得 ∴直線BC的解析式為． …………3分（2）∵M(jìn)A=MB，∴MA+MC=MB+MC.∴使MA+MC最小的點(diǎn)M應(yīng)為直線BC與對稱軸x＝－1的交點(diǎn). 設(shè)直線BC與對稱軸x＝－1的交點(diǎn)為M，把x＝－1代入直線，得y＝2. ∴M（－1，2）………………………………………………………………………6分 （3）設(shè)P（－1，t），結(jié)合B（－3，0），C（0， 3），得BC2＝18， PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2， PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PB2＝PC2，即 18＋4＋t2＝t2－6t＋10. 解之,得t＝－2.② 若C為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PC2＝PB2，即 18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．③ 若P為直角頂點(diǎn)，則PB2＋PC2＝BC2，即 4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝． 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有四個,分別為 (－1，－2), (－1，4), (－1，) ,(－1，)．…10分與相似三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016?湖州）如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點(diǎn)P是直線AC上的動點(diǎn)，若點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【分析】（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點(diǎn)M在向下平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得∠MCP=90176。則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對應(yīng)點(diǎn)①若有△PCM∽△BDC，則有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45176。．【解答】解：（1）∵y=mx2+4mx﹣5m，∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，∵m≠0，∴x=﹣5或x=1．∴A（﹣5，0）、B（1，0）．∴拋物線的對稱軸為x=﹣2．∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為為6，∴﹣9m=6．∴m=﹣．∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+．（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）．（3）如圖所示：∵OP的解析式為y=x，∴∠AOP=30176。．∴點(diǎn)O、D、P、F共圓．∴∠PDF=∠PBF．∴∠PDF=60176?！逷D⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，∴∠DPF=∠F
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