二次函數七大綜合專題(編輯修改稿)
2025-04-20 06:23 本頁面
【文章內容簡介】 綜合題，主要考查了待定系數法求函數關系式，函數極值額確定方法，平行四邊形的性質和判定，解本題的關鍵是建立函數關系式求極值與圖形的平移與旋轉變換性質有關的綜合題（2016?重慶第26題）如圖1，二次函數的圖象與一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為（0,1），點B在第一象限內，點C是二次函數圖象的頂點，點M是一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸的交點，過點B作x軸的垂線，垂足為N，且S△AMO︰S四邊形AONB=1︰48。（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點P是線段AB上一點，點D是線段BC上一點，PD//x軸，射線PD與拋物線交于點G，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥BC于點F，當PF與PE的乘積最大時，在線段AB上找一點H（不與點A，點B重合），使GH+BH的值最小，求點H的坐標和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點K（3,4），將二次函數沿直線BC平移，平移的距離是t(t≥0)，平移后拋物線上點A，點C的對應點分別為點A/，點C/；當△A/C/K是直角三角形時，求t的值。參考答案：（1）∵點A的坐標為(0,1)，∴AO=1。∵S△AMO︰S四邊形AONB=1︰48，∴S△AMO︰S△BMN=1︰49。由△AMO∽△BMN可知，AO︰BN=1︰7?！郆N=7。令y=7，則，解得x1=6，x2=2?！唿cB在第一象限，∴點B的坐標為(6,7)。 ………（1分）將點A(0,1)，B(6,7)代入y=kx+b中得，解得∴直線AB的解析式為y=x+1?！?分）∵點C是二次函數圖象的頂點，∴點C的坐標為(2,1)。 ………（3分）設直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0)，將點B(6,7)，C(2,1)代入得，解得?！嘀本€BC的解析式為y=2x5。………（4分）（2）設點P的坐標為(a,a+1)。則點D的坐標為(,a+1)。∴PE=a+1，PD=()a=。設直線BC與x軸的交點為點Q，由△PDF∽△BQN可知，∴PF=?！?分）∴PEPF=(a+1)=?！?a6，∴當x=時，PEPF有最大值。此時點P的坐標為(,)。把y=代入二次函數中得，解得x1=1，x2=5。∴點G的坐標為(5, )。 ………（6分）過點B作BR∥x軸交y軸于R，點H是線段AB上一點，作HJ⊥BR于點J，連接GH。∴∠JBH=∠AMO=45176。，JH=BH，GH+BH=GH+HJ。當點G，H，J三點在同一條直線上時，GH+BH的值最小。此時點H的坐標為(5,6)， ………（7分）GH+BH的值最小為。 ………（8分）（3）過點A作AT∥BC，平移過程中AC=A/C/=，CC/=AA/=t。設點C/的坐標為(,)則點A/的坐標為(,)∵點K的坐標為(3,4)∴A/K2=，C/K2=，(A/C/)2=8。①當A/C/為斜邊時，8=()+()解得t1=或t2=。 ………（10分）②當A/K為斜邊時，=8+()解得t=。 ………（11分）③當C/K為斜邊時，=8+()解得t=0。 ………（12分）綜上所述，當△A/C/K是直角三角形時，t=或或或0。與直角三角形性質有關的綜合題 （2016?棗莊第25題）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為B.⑴若直線y＝mx＋n經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；⑵在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標；⑶設點P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．第25題圖參考答案：解：（
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