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[高二數(shù)學(xué)]范文橋總結(jié)圓錐曲線的解題全面方法-資料下載頁

2025-03-23 02:50本頁面
  

【正文】 數(shù).設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點. (Ⅰ)若P是該橢圓上的一個動點,求的最大值和最小值; (Ⅱ)是否存在過點A(5,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由. 解:易知,設(shè)P(x,y),則, ,即點P為橢圓短軸端點時,有最小值3;當(dāng),即點P為橢圓長軸端點時,有最大值4 (Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點A(5,0)在橢圓的外部,當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l與橢圓無交點,所在直線l斜率存在,設(shè)為k,直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時,設(shè)交點C,CD的中點為R,則又|F2C|=|F2D| ∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立, 所以不存在直線,使得|F2C|=|F2D|綜上所述,不存在直線l,使得|F2C|=|F2D| 橢圓G:的兩個焦點為FF2,短軸兩端點BB2,已知FFBB2四點共圓,且點N(0,3)到橢圓上的點最遠(yuǎn)距離為(1)求此時橢圓G的方程;(2)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線m與橢圓G相交于不同的兩點E、F,Q為EF的中點,問E、F兩點能否關(guān)于過點P(0,)、Q的直線對稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請說明理由.解:(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),線段F1F2與線段B1B2互相垂直平分,故橢圓中心即為該四點外接圓的圓心 故該橢圓中即橢圓方程可為,H(x,y)為橢圓上一點,則,則有最大值,(舍去),∴所求橢圓方程為(2)設(shè),則由 兩式相減得……③ 又直線PQ⊥直線m ∴直線PQ方程為將點Q()代入上式得,④ 由③④得Q(),Q點必在橢圓內(nèi)部,由此得故當(dāng)時,E、F兩點關(guān)于點P、Q的直線對稱已知橢圓的離心率為,過右焦點F的直線與相交于、兩點,當(dāng)?shù)男甭蕿?時,坐標(biāo)原點到的距離為 (I)求,的值;(II)上是否存在點P,使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與的方程;若不存在,說明理由。解:(Ⅰ)設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時,其方程為到的距離為 ,故 , , 由 ,得 ,=(Ⅱ)C上存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立。由 (Ⅰ)知橢圓C的方程為+=6. 設(shè) (ⅰ)  假設(shè)上存在點P,且有成立,則,整理得 故 ①將 ②于是 , =, , 代入①解得,此時于是=, 即 因此, 當(dāng)時, ; 當(dāng)時, 。(ⅱ)當(dāng)垂直于軸時,由知,C上不存在點P使成立。綜上,C上存在點使成立,此時的方程為.已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點A和上頂點D,橢圓的右頂點為,點是橢圓上位于軸上方的動點,直線與直線分別交于兩點。 (I)求橢圓的方程; (Ⅱ)求線段MN的長度的最小值; (Ⅲ)當(dāng)線段MN的長度最小時,在橢圓上是否存在這樣的點,使得的面積為?若存在,確定點的個數(shù),若不存在,說明理由(I)由已知得,橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方程為(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在,且,故可設(shè)直線的方程為,從而由得0設(shè)則得,從而 即又,由得 故又 ,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立 時,線段的長度取最小值(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當(dāng)取最小值時, 此時的方程為 要使橢圓上存在點,使得的面積等于,只須到直線的距離等于,所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線,則由解得或 已知雙曲線的左、右焦點分別為,過點的動直線與雙曲線相交于兩點.(I)若動點滿足(其中為坐標(biāo)原點),求點的軌跡方程;(II)在軸上是否存在定點,使為常數(shù)?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解:由條件知,設(shè),.解法一:(I)設(shè),則,,由得即于是的中點坐標(biāo)為.當(dāng)不與軸垂直時,即.又因為兩點在雙曲線上,所以,兩式相減得,即.將代入上式,化簡得.當(dāng)與軸垂直時,求得,也滿足上述方程.所以點的軌跡方程是.(II)假設(shè)在軸上存在定點,使為常數(shù).當(dāng)不與軸垂直時,設(shè)直線的方程是.代入有.則是上述方程的兩個實根,所以,于是.因為是與無關(guān)的常數(shù),所以,即,此時=.當(dāng)與軸垂直時,點的坐標(biāo)可分別設(shè)為,此時.故在軸上存在定點,使為常數(shù).在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點.橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為. (1)求圓的方程; (2)試探究圓上是否存在異于原點的點,使到橢圓右焦點的距離等于線段的長.若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解: (1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m,n)(m0,n0),則該圓的方程為(xm)2+(yn)2=8已知該圓與直線y=x相切,那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑,則=2 即=4 ① 又圓與直線切于原點,將點(0,0)代入得 ,m2+n2=8 ②聯(lián)立方程①和②組成方程組解得, 故圓的方程為(x+2)2+(y2)2=8 (2)=5,∴a2=25,則橢圓的方程為 其焦距c==4,右焦點為(4,0),那么=4。要探求是否存在異于原點的點Q,使得該點到右焦點F的距離等于的長度4,我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點F為頂點,半徑為4的圓(x─4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點數(shù)。通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=,y=即存在異于原點的點Q(,),使得該點到右焦點F的距離等于的長。設(shè)橢圓E: (a,b0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標(biāo)原點,(I)求橢圓E的方程;(II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。解:(1)因為橢圓E: (a,b0)過M(2,) ,N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為(2)假設(shè)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上,存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.39
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