【正文】 數(shù)．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：易知，設(shè)P（x，y），則， ，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值3；當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值4 （Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)C，CD的中點(diǎn)為R，則又|F2C|=|F2D| ∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D|綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D| 橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)為FF2，短軸兩端點(diǎn)BB2，已知FFBB2四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為（1）求此時(shí)橢圓G的方程；（2）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)E、F，Q為EF的中點(diǎn)，問(wèn)E、F兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)P（0，）、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，線段F1F2與線段B1B2互相垂直平分，故橢圓中心即為該四點(diǎn)外接圓的圓心 故該橢圓中即橢圓方程可為，H（x,y）為橢圓上一點(diǎn)，則，則有最大值，（舍去），∴所求橢圓方程為（2）設(shè)，則由 兩式相減得……③ 又直線PQ⊥直線m ∴直線PQ方程為將點(diǎn)Q（）代入上式得，④ 由③④得Q（），Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部，由此得故當(dāng)時(shí)，E、F兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 （I）求，的值；（II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解：（Ⅰ）設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，其方程為到的距離為 ，故 ， ， 由 ，得 ，=（Ⅱ）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立。由 （Ⅰ）知橢圓C的方程為+=6. 設(shè) (ⅰ) 　假設(shè)上存在點(diǎn)P，且有成立，則，整理得 故 ①將 ②于是 , =, ， 代入①解得，此時(shí)于是=， 即 因此， 當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， 。（ⅱ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時(shí)的方程為.已知直線經(jīng)過(guò)橢圓 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)。 （I）求橢圓的方程； （Ⅱ）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值； （Ⅲ）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 即又，由得 故又 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)取最小值時(shí)， 此時(shí)的方程為 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線，則由解得或 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：由條件知，設(shè)，．解法一：（I）設(shè)，則，，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即．又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即．將代入上式，化簡(jiǎn)得．當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．所以點(diǎn)的軌跡方程是．（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是．因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=．當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)．故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為． (1)求圓的方程； (2)試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解： (1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m0，n0）,則該圓的方程為(xm)2+(yn)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2 即=4 ① 又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)(0，0)代入得 ，m2+n2=8 ②聯(lián)立方程①和②組成方程組解得， 故圓的方程為(x+2)2+(y2)2=8 (2)=5，∴a2=25，則橢圓的方程為 其焦距c==4，右焦點(diǎn)為(4，0)，那么=4。要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)，半徑為4的圓(x─4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點(diǎn)數(shù)。通過(guò)聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(，)，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)。設(shè)橢圓E: （a，b0）過(guò)M（2，） ，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a，b0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為，，所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.39