微積分三大中值定理詳解-資料下載頁
2025-01-20 05:32本頁面
【正文】 值 得 a r c s in a r c s in .??? ? ? ????對 的 情 形 ， 證 法 類 似 .故21a r c s in a r c s in ( ) , ( )1? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??即 2211 , 1 , 0 1 1 1 .1? ? ??? ? ? ? ? ? ??注 意 到 因 此微積分（一） calculus 若函數 )(),( xgxf滿足 : ,?則在 ),( ba內至少存在一點 使得 ],[ ba1) 在閉區(qū)間 上連續(xù) 。 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g???? ??? 2) 在開區(qū)間 ),( ba內可導 。 ???( ) 0 ,gx? ?且 ( ) T Hg x x L?柯 西 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理的 推 廣 ， 當 時 ， 即 為注意 ：.柯西 (Cauchy)中值定理 (CTh) 定理 微積分（一） calculus 2( ) 1 ( ) l n [1 2]2 1?? ? ?f x x g x x驗 證 與 在 ， 上滿 足 柯 西 中 值 定 理 條 件 ， 并 求 相 應例的 值 .2( ) 1 , ( ) l n [ 1 2] ,1( 1 , 2) , ( ) 0 ( ( 1 , 2) ) 。( ) ( ) [ 1 2] ,( 1 , 2)( 2) ( 1 ) ( )( 1 2)( 2) ( 1 ) ( )f x x g x xg x xxf x g xf f fg g g????? ? ?? ? ? ???? ? ???由 于 在 ， 上 連 續(xù)在 內 可 導 且所 以 與 在 ， 上 滿 足 柯 西 定 理 條 件因 此 在 內 至 少 存 在 一 點 ， 使 解微積分（一） calculus 5 2 ( ) 2l n 2 l n 1 ( ) 133。 ( 1 , 2)2 l n 2 2 l n 2xxf x xg x x?????????? ? ???? ? ? ? ?22取2( ) 1 ( ) l n [ 1 2]f x x g x x x? ? ? ? ，( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 2 )( 2 ) ( 1 ) ( )? ???? ? ? ???f f fg g g由 得微積分（一） calculus ? 思考 1 、如果 )( xf 在 ],[ ba 連續(xù)，在 ),( ba 可導， c 為介于 ba , 之間的任一點，那么在 ),( ba （ ）找到兩點 12 , xx ，使 )()()()( 1212 cfxxxfxf ???? 成立 . （ A ）必能； （ B ）可能； （ C ）不能； （ D ）無法確定能 .證明 bbabaaba ???? ln微積分（一） calculus 解答 2o 對 f(x)在 [b, a]上用拉格朗日公式 , 即 ),(1lnln baba ???? 1 1 1,.ba ab? ?? ? ? ? ?Q)(1lnln)(1 babbabaa ?????? 證明 1o 由所要證明的不等式選定一函數 f(x) 及定義區(qū)間 : 令 f(x)=lnx , x∈ [b, a]. B .點 c不能為任意，因為函數和區(qū)間確定時， LTH結論中的 c的位置是客觀確定的。 微積分（一） calculus ? 例 17： 設 f(x)在 [a,b]上連續(xù)，在 (a,b)內可導，證明：在 (a,b)內存在一點 ξ， η,使得 abff???)(39。2)(???? f (x)， g(x)在 [a,b]上滿足柯西中值定理，在 (a,b)內至少存在一點 η，使得 xxg： ?)(令證明 0ab ???)(39。)(39。)()()()(??gfagbgafbf ?????21)(39。)()( fabafbf ???微積分（一） calculus ? 左邊分母有理化 )(39。2)]()()[( ?? fabafbfab ????bafabafbf ???? )(39。2)()( ??即? 又因為 f(x)在 [a,b]上滿足拉格朗日中值定理，所以在 (a,b)內至少存在一點 ξ，使得 )(39。)()( ?fab afbf ???abf f?? )(39。2)(39。 ???從而微積分（一） calculus 小 結： ?羅爾定理 如果函數 y?f(x)在閉區(qū)間 [a? b]上連續(xù) ? 在開區(qū)間 (a? b)內可導 ? 且有 f(a)?f(b)? 那么至少存在一點 ??(a? b)? 使得 f ?(?)?0? 如果函數 f(x)在閉區(qū)間 [a? b]上連續(xù) ? 在開區(qū)間 (a? b)內可導 ? 那么在 (a? b)內至少有一點 ?? 使得 f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)? ?拉格朗日中值定理 微積分（一） calculus ?柯西中值定理 函數 f(x)及 F(x)在閉區(qū)間 [a? b]上連續(xù) ? 在開區(qū)間(a? b)內可導 ? 且 F ?(x)在 (a? b)內恒不為零 ? 那么在 (a? b)內至少有一點 ?? 使得 )()()()()()(??FfaFbFafbf????? ? 微積分（一） calculus P164練習 T6(3)。P199 T5 P196~202 習題 四 相關練習自選完成 作業(yè) 先看書 再做練習
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