[理學(xué)]第九章重積分-資料下載頁
2025-01-19 08:49本頁面
【正文】 ???? 20 xa Dx d x d y d z? ? ?? 3415 a b c??2y d v???? 3415 a b c?? 故 I? 45 abc?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算 2 2 22 2 2 ,1x y zzeI dx dy dzx y z????? ? ???? 其中 Ω由 2 2 2 1x y z? ? ?圍成 . 解 : 積分區(qū)域如圖 . x y z o 1 積分區(qū)域關(guān)于三坐標(biāo)面對(duì)稱 , 被積函數(shù)關(guān)于 z 是奇函數(shù) , 故積分為零 . 此題也可用“先一后二”法討論 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 計(jì)算 || ,zI e d x d y d z?? ??? 其中 2 2 2: 1 .x y z? ? ? ?解 : x y z o 1 1?2?I?1||ze dx dy dz????2||ze dxdydz?? ???01 xyzDe d z d x d y??? ? ??10 xyzDe d z d x d y? ? ??0 21 ( 1 )zz e dz? ?????1 20 ( 1 )zz e dz????2.??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6. 當(dāng) f (x) 連續(xù)時(shí) ,證明 : 2 2 21 211( ) ( ) ( 1 ) .x y zf z dv f x x dx??? ? ?????? ?證明 : 2 2 2 1()x y zf z dv? ? ????? 11 () zDf z d z d x d y?? ??1 21 ( ) ( 1 )f z z d z?????1 21 ( ) ( 1 ) .f x x d x? ????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7. 設(shè) f (x)為連續(xù)函數(shù) ,且 2 2 2( ) ( )t f x y z d x d y d z?? ? ? ????其中 Ω由 22 2 2 ( 0 )x y z t t? ? ? ?圍成 , 求 ( ) .t??解 : 利用球坐標(biāo)有 ()t?? 2 220 0 0 ( ) sintd d f r r d r??? ? ?? ? ?2 220 0 0sin ( )td d f r r d r??? ? ?? ? ? ?2204 ( )t f r r dr?? ?()t??? 224 ( ) .f t t?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8. 設(shè) f (x)為連續(xù)函數(shù) , 2 2 2( ) [ ( ) ] ,F t z f x y d x d y d z?? ? ????其中 2 2 2: 0 , ,z h x y t? ? ? ? ?20()l i m .tFtt??求解 : 積分區(qū)域如圖 . x y z o h t 利用柱坐標(biāo)有 ()Ft ? 2 220 0 0 [ ( ) ]thd d r z f r rd z? ? ?? ? ?3 2 201 2 ( )3th t h f r rd r???? ?20()li mtFtt?? ?3 2 20201 2 ( )3l i mtth t h f r rd rt????? ?31 ( 0)3 h h f????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9. 已知 yoz 平面內(nèi)一條曲線 2zy? ，將其繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得 一旋轉(zhuǎn)曲面 ,此曲面與 z = 2 所圍立體在任一點(diǎn)的密度 為 22( , , )x y z x y? ?? ，求該立體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 . 解 : 根據(jù)題意作圖如右 . x y o z 2 則 22:2x y z? ? ? ?22:2xyD x y??zI ?22( ) ( , , )x y x y z d v??????22 2 2400 rd r d r d z? ?? ? ? ?32 235 ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10. 在球心位于原點(diǎn) , 半徑為 a 的均勻半球體靠圓形平 面一側(cè)接一個(gè)底半徑與球半徑相等且材料相同的圓柱體 , 并使拼接后的整個(gè)物體的重心在球心 ,求圓柱體的高 . 解 : 根據(jù)題意作圖如右 . x y z o a h 則重心在原點(diǎn) . 設(shè)圓柱體高為 h , 且圓柱體和球體分別為 12,.??1?2?則 z0? 1 z dvV?? ???11 zd vV ?? ???21 zd vV ?? ???機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0zaDzd z d x d y?? ??212 ah?1z d v?????0hDzdz dx dy? ??20h a zdz?? ? 212 ah??2z d v?????0 22()a a z zdz?????414 a???所以 41 04 a???解得 2 .2ha?x y z o a h 2?1
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