屆總復習-走向清華北大--22正弦定理和余弦定理-資料下載頁
2025-01-18 18:14本頁面
【正文】 為 14. [評析 ]對于題目中的隱含條件 ,尤其是范圍條件 ,一定要善于挖掘 . 錯源五 忽視內角和定理的限制 [答案 ]A 技法一 方程思想 【 典例 1】 如圖 ,D是直角△ ABC斜邊 BC上一點 ,AB=AD,記∠ CAD=α,∠ ABC=β. (1)證明 :sinα+cos2β=0。 (2)若 AC= ,求 β的值 . [方法與技巧 ]第 (2)問借助正弦定理得到 “ sinβ= sinα” ,結合第 (1)問的結論消去 α角 ,把問題轉化為關于 sinβ的一元二次方程 ,通過解方程求得 .此題靈活運用了消元思想和方程思想 . 技法二 分類討論思想 【 典例 2】 如圖 ,有兩條相交成 60176。 的直線 xx′,yy′,其交點為 O,甲、乙兩輛汽車分別在 xx′,Oy′上行駛 ,起初甲離 O點 30 km,乙離 O點 10 km,后來兩車均用 60 km/h的速度 ,甲沿 xx′方向 ,乙沿 yy′方向行駛 (設甲、乙兩車最初的位置分別為A,B). (1)起初兩車的距離是多少 ? (2)用包含 t的式子表示 ,t小時后兩車的距離是多少 ? [解 ](1)由余弦定理 ,知 AB2=OA2+OB22 OA OB cos60176。 =302+1022 30 10 =700. 故 AB= (km). 即起初兩車的距離是 (2)設甲 ?乙兩車 t小時后的位置分別為 P,Q,則AP=60t,BQ=60t. ① 當 0≤t≤ 時 ,∠ POQ=60176。 . 此時 OP=3060t,OQ=10+60t. 由余弦定理 ,得 PQ2=(3060t)2+(10+60t)22 (3060t)(10+60t)cos60176。 =10800t23600t+700. ② 當 時 ,∠ POQ=120176。 . 此時 OP=60t30,OQ=10+60t. 由余弦定理 ,得 PQ2=(60t30)2+(10+60t)22 (60t30)(10+60t)cos120176。 =10800t23600t+700. 綜上知 PQ2=10800t23600t+700. 則 故 t小時后兩車的距離是 [方法與技巧 ]本題是一個解三角形的實際問題 ,由于兩車的行駛方向導致以 O點為起點的兩線段的夾角發(fā)生變化 ,因此必須對兩種情況進行分類討論 . 技法三 數(shù)形結合思想 【 典例 3】 在斜度一定的山坡上的一點 A測得山頂上一建筑物頂端 C對于山坡的斜度為 15176。 ,向山頂前進 100 m后 ,又從 B點測得斜度為 45176。 .設建筑物的高為 50 m,求山坡對于地平面的斜度的傾斜角 θ的余弦值 . [解題切入點 ]本題是測量角度問題 ,首先應根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示 .設山坡對于地平面的斜度的傾斜角 ∠ EAD=θ,這樣可在△ ABC中利用正弦定理求出 BC。再在△ BCD中 ,利用正弦定理得到關于 θ的三角函數(shù)關系式 ,進而解出 θ. [方法與技巧 ]題中已知條件較多 ,為了求傾斜角 ,根據(jù)題意畫出其示意圖 ,將已知條件歸結到△ ABC與△ BCD中 .在△ BCD中 ,利用三角形的性質 ,將 ∠ CDB與角 θ聯(lián)系起來 ,從而在兩個三角形中 ,利用正弦定理將 θ求出 .
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