屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--22正弦定理和余弦定理-資料下載頁(yè)
2025-01-18 18:14本頁(yè)面
【正文】 為 14. [評(píng)析 ]對(duì)于題目中的隱含條件 ,尤其是范圍條件 ,一定要善于挖掘 . 錯(cuò)源五 忽視內(nèi)角和定理的限制 [答案 ]A 技法一 方程思想 【 典例 1】 如圖 ,D是直角△ ABC斜邊 BC上一點(diǎn) ,AB=AD,記∠ CAD=α,∠ ABC=β. (1)證明 :sinα+cos2β=0。 (2)若 AC= ,求 β的值 . [方法與技巧 ]第 (2)問(wèn)借助正弦定理得到 “ sinβ= sinα” ,結(jié)合第 (1)問(wèn)的結(jié)論消去 α角 ,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 sinβ的一元二次方程 ,通過(guò)解方程求得 .此題靈活運(yùn)用了消元思想和方程思想 . 技法二 分類(lèi)討論思想 【 典例 2】 如圖 ,有兩條相交成 60176。 的直線 xx′,yy′,其交點(diǎn)為 O,甲、乙兩輛汽車(chē)分別在 xx′,Oy′上行駛 ,起初甲離 O點(diǎn) 30 km,乙離 O點(diǎn) 10 km,后來(lái)兩車(chē)均用 60 km/h的速度 ,甲沿 xx′方向 ,乙沿 yy′方向行駛 (設(shè)甲、乙兩車(chē)最初的位置分別為A,B). (1)起初兩車(chē)的距離是多少 ? (2)用包含 t的式子表示 ,t小時(shí)后兩車(chē)的距離是多少 ? [解 ](1)由余弦定理 ,知 AB2=OA2+OB22 OA OB cos60176。 =302+1022 30 10 =700. 故 AB= (km). 即起初兩車(chē)的距離是 (2)設(shè)甲 ?乙兩車(chē) t小時(shí)后的位置分別為 P,Q,則AP=60t,BQ=60t. ① 當(dāng) 0≤t≤ 時(shí) ,∠ POQ=60176。 . 此時(shí) OP=3060t,OQ=10+60t. 由余弦定理 ,得 PQ2=(3060t)2+(10+60t)22 (3060t)(10+60t)cos60176。 =10800t23600t+700. ② 當(dāng) 時(shí) ,∠ POQ=120176。 . 此時(shí) OP=60t30,OQ=10+60t. 由余弦定理 ,得 PQ2=(60t30)2+(10+60t)22 (60t30)(10+60t)cos120176。 =10800t23600t+700. 綜上知 PQ2=10800t23600t+700. 則 故 t小時(shí)后兩車(chē)的距離是 [方法與技巧 ]本題是一個(gè)解三角形的實(shí)際問(wèn)題 ,由于兩車(chē)的行駛方向?qū)е乱?O點(diǎn)為起點(diǎn)的兩線段的夾角發(fā)生變化 ,因此必須對(duì)兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論 . 技法三 數(shù)形結(jié)合思想 【 典例 3】 在斜度一定的山坡上的一點(diǎn) A測(cè)得山頂上一建筑物頂端 C對(duì)于山坡的斜度為 15176。 ,向山頂前進(jìn) 100 m后 ,又從 B點(diǎn)測(cè)得斜度為 45176。 .設(shè)建筑物的高為 50 m,求山坡對(duì)于地平面的斜度的傾斜角 θ的余弦值 . [解題切入點(diǎn) ]本題是測(cè)量角度問(wèn)題 ,首先應(yīng)根據(jù)題意畫(huà)出圖形,如圖所示 .設(shè)山坡對(duì)于地平面的斜度的傾斜角 ∠ EAD=θ,這樣可在△ ABC中利用正弦定理求出 BC。再在△ BCD中 ,利用正弦定理得到關(guān)于 θ的三角函數(shù)關(guān)系式 ,進(jìn)而解出 θ. [方法與技巧 ]題中已知條件較多 ,為了求傾斜角 ,根據(jù)題意畫(huà)出其示意圖 ,將已知條件歸結(jié)到△ ABC與△ BCD中 .在△ BCD中 ,利用三角形的性質(zhì) ,將 ∠ CDB與角 θ聯(lián)系起來(lái) ,從而在兩個(gè)三角形中 ,利用正弦定理將 θ求出 .
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