屆總復習-走向清華北大--28等差數列-資料下載頁
2025-01-18 18:01本頁面
【正文】 [剖析 ]這是一個首項為正的遞減的等差數列 ,零是這個數列的項嗎 ?由于 a1=10,d= ,得 10+(131) 也就是說零是這個數列的第 13項 ,于是答案就出錯了 . 56?5 0,6???????? [正解 ]由于 a1=100,d= 即數列 {an}是一個首項為正的遞減的等差數列 ,又由于 a13=0,由上述解法可知 ,該數列的前 12或 13項的和最大 ,其值為 65. 5 0,6??錯源三 對數列的有關概念理解有誤 【 典例 3】 已知數列 {an}是遞增數列 ,且對于任意的n∈ N+,an=n2+λn恒成立 ,則實數 λ的取值范圍是 ________. [錯解 ]因為 an=n2+λn是關于 n的二次函數 ,且 n≥1,所以 ≤1,解得 λ≥2. [剖析 ]數列是以正整數 N+(或它的有限子集 {1,2,? ,})為定義域的函數 ,因此它的圖象只是一些孤立的點 ,滿足條件的此數列的點分布如圖 . 2?? [正解 ]解法一 :由圖分析得 , ,所以 λ3. 解法二 :由 {an}是遞增數列 ,得 anan+1對 n∈ N+恒成立 , 即 n2+λn(n+1)2+λ(n+1), 整理得 λ(2n+1). 而 (2n+1)≤3,所以 λ3. [答案 ](3,+∞) 322???技法一 活用變式 ,出奇制勝 【 典例 1】 已知等差數列 {an}中 ,ap=q,aq=p(q≠p),求 ap+q. [解題切入點 ]由等差數列的通項公式 an=a1+(n1)d可得變式 :① an=am+(nm)d或② (n≠m),利用此變式可快速求解 . nmaadnm??? [解 ]解法一 :由變式①得 :q=p+(pq)d, 所以 d=1. 所以 ap+q=ap+(p+qp)d=q+q (1)=0. 解法二 :由變式②得 : 所以 所以 ap+q=0. ,p q p q pa a a adp q p q p?????? ? ?,pqaqqpd p q q? ?????解法三 :因為 an=a1+(n1)d,所以點 (n,an)在一條直線上 . 不妨設 pq,記點 A(p,q),B(q,p), 則直線 AB的斜率 由圖知 OC=p+q,即點 C的坐標為 (p+q,0), 故 ap+q=0. 當 pq時 ,同理可得 ap+q=0. qp?? ? ?? [方法與技巧 ]在解題時 ,巧妙地利用等差數列的變式 ,常常能出奇制勝 ,達到簡捷明快的目的 . 技法二 設而不求 ,化繁為簡 【 典例 2】 在等差數列 {an}中 ,Sm=Sn(m≠n),求 Sm+n. ? ?? ?11n11m n 1( 1 ) ( 1 ),22( ) ( ) ( 1 ) 0.2 [ ] a d ,mam n , m n 0 ,a( 1 )0.2(S m n) ( 1 )0.2am m n nd na ddm n a m n m nmndm n m nd??? ? ????????? ? ? ? ? ?????? ? ??解 設 的 公 差 為 由 題 意 得因 為 所 以 所 以所 以[方法與技巧 ]在解有關等差數列習題時 ,設出其基本量 a1,d,利用設而不求 ,整體代入能使題目避繁就簡 .
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