屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--28等差數(shù)列(完整版)
【正文】 而 (an+2an+1)(an+1an)=2p為一個(gè)常數(shù) . ∴ {an+1an}是等差數(shù)列 . 類(lèi)型二 等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 解題準(zhǔn)備 :① 等差數(shù)列 {an}中 ,a1和 d是兩個(gè)基本量 ,用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng) ,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式 ,列方程組解 a1和 d,是解決等差數(shù)列問(wèn)題的常用方法。 (2)當(dāng) n≤5時(shí) , Tn=|a1|+|a2|+? +|an| =a1+a2+? +an=10nn2. ? ? ? ? n221 0 ( 5 ) ,1 0 5 0 (1 2 T5 ) .n n nn n n?? ??? ? ? ???≤綜 合 得錯(cuò)源二 忽略為零的項(xiàng) 【 典例 2】 在等差數(shù)列 {an}中 ,已知 a1=10,前 n項(xiàng)和為 Sn,且S10=S15,求 n取何值時(shí) ,Sn有最大值 ,并求出最大值 . ? ? ? ?1 0 11151n110 9 15 1415 .22[ ] d , S S ,1 0aa 1 0 ,5.da a n 1 d 1 0 n 165.6d a d???????????? ? ? ? ? ??????錯(cuò) 解 設(shè) 公 差 為 由 得將 代 入 得那 么? ?nn12 1a 0 , 1 0 n 1 , n 1 3 .n 1 2 , S ,5061 2 1 1 1 2 1 1 51 2 1 0 6 5 .2 2 6S 1 2 a d? ? ? ?????????????? ??? ? ?? ???? ??由 即 得因 此 當(dāng) 時(shí) 有 最 大 值 其 值 為 [剖析 ]這是一個(gè)首項(xiàng)為正的遞減的等差數(shù)列 ,零是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)嗎 ?由于 a1=10,d= ,得 10+(131) 也就是說(shuō)零是這個(gè)數(shù)列的第 13項(xiàng) ,于是答案就出錯(cuò)了 . 56?5 0,6???????? [正解 ]由于 a1=100,d= 即數(shù)列 {an}是一個(gè)首項(xiàng)為正的遞減的等差數(shù)列 ,又由于 a13=0,由上述解法可知 ,該數(shù)列的前 12或 13項(xiàng)的和最大 ,其值為 65. 5 0,6??錯(cuò)源三 對(duì)數(shù)列的有關(guān)概念理解有誤 【 典例 3】 已知數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列 ,且對(duì)于任意的n∈ N+,an=n2+λn恒成立 ,則實(shí)數(shù) λ的取值范圍是 ________. [錯(cuò)解 ]因?yàn)?an=n2+λn是關(guān)于 n的二次函數(shù) ,且 n≥1,所以 ≤1,解得 λ≥2. [剖析 ]數(shù)列是以正整數(shù) N+(或它的有限子集 {1,2,? ,})為定義域的函數(shù) ,因此它的圖象只是一些孤立的點(diǎn) ,滿足條件的此數(shù)列的點(diǎn)分布如圖 . 2?? [正解 ]解法一 :由圖分析得 , ,所以 λ3. 解法二 :由 {an}是遞增數(shù)列 ,得 anan+1對(duì) n∈ N+恒成立 , 即 n2+λn(n+1)2+λ(n+1), 整理得 λ(2n+1). 而 (2n+1)≤3,所以 λ3. [答案 ](3,+∞) 322???技法一 活用變式 ,出奇制勝 【 典例 1】 已知等差數(shù)列 {an}中 ,ap=q,aq=p(q≠p),求 ap+q. [解題切入點(diǎn) ]由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n1)d可得變式 :① an=am+(nm)d或② (n≠m),利用此變式可快速求解 . nmaadnm??
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