高考理科數(shù)學(xué)等差數(shù)列復(fù)習(xí)資料(完整版)
【正文】 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 9 ? {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn(n∈ N*),關(guān)于數(shù)列{an}有下列四個(gè)命題： ? ①若 an=an+1(n∈ N*)，則 {an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列； ? ②若 Sn=an2+bn(a,b∈ R)，則 {an}是等差數(shù)列； ? ③ a,b,c成等差數(shù)列的充要條件是 ? ④若 {an}是等差數(shù)列，則 Sm,S2mSm,S3mS2m (m∈ N*)也成等差數(shù)列 . acb ??2 ； 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 17 ? 由① +② 得 7d11,即 ? 由① +③ 得 13d≤1,即 ? 于是 ? 又 d∈ Z，故 d=1. ? 代入①②得 10a1≤ a1∈ Z，故 a1=11或a1=12. ? 所以，所有可能的數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式是an=12n和 an=13n,n=1,2,3,…. .d ?? 117.d ?? 113.d? ? ? ?1 1 1 173 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 22 ? 【 點(diǎn)評(píng) 】 ： 公差不為零的等差數(shù)列的前 n項(xiàng)的和是關(guān)于 n的二次函數(shù) (常數(shù)項(xiàng)為 0)， 反之也成立 .因?yàn)楹褪绞嵌魏瘮?shù) ， 所以和式有最大值 (或最小值 )， 求其最值可按二次函數(shù)處理 ， 不過(guò)需注意自變量 n是正整數(shù) . 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 27 ? 解法 3：因?yàn)?S5=S13， ? 所以 S13S5=0， ? 即 a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0. ? 又 a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10， ? 所以 a9+a10=0. ? 又 a1＞ 0，所以 a9＞ 0， a10＜ 0. ? 故當(dāng) n=9時(shí)， Sn最大 . 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 35 ? 【 點(diǎn)評(píng) :】 一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件可以是： ① an+1an=d； ② an=an+b； ③Sn=an2+bn(Sn 是前 n 項(xiàng)和 ) ； ④an+2+an=2an+ a是否為某數(shù)列 {an}的項(xiàng) ， 就是方程 an=a是否有對(duì)應(yīng)的正整數(shù)解 . Sn － 1， 即 2 ( Sn－ Sn － 1) ＝ Sn 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 39 ? 題型 4：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ? {an}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，求 2a9a10的值． ? 分析 ： 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用．運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式把任意項(xiàng)轉(zhuǎn)化到首項(xiàng)與公差上來(lái)是解決數(shù)列問(wèn)題的通性通法． 理科數(shù)學(xué) (2)=212n. ? (3)因?yàn)?a2+a5+a8=9， a3a5a7=21， ? 又因?yàn)?a2+a8=a3+a7=2a5 ， 所以 3a5=9， 故a5=3. ? 所以 a3+a7=2a5=6 ① ， a3a7=7 ② ， ? 由 ①② 解得 a3=1， a7=7或 a3=7， a7=1， ? 所以 a3=1， d=2或 a3=7， d=2， ? 由 an=a3+(n3)d， 得 an=2n7或 an=2n+13. 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 49 ? 因此， ? 要使 都成立 , ? 必須且僅須滿足 即 m≥10， ? 所以滿足要求的最小正整數(shù) m為 10. 11( 1 ) ( * )2 6 1 2 0m nNn???1 ,2 2 0m? 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 54 ? 所以 2b2=b1+b3， ? 所以 ? 化簡(jiǎn)得 2c2+c=0， ? 解得 或 c=0(舍去 ). ? 所以 1 2 1 1 5 ,2 1 3c c c??? ? ?c ??12c ??12 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 52 ? 由于 a1+a4=a2+a3=14， ? 故 a2， a3是方程 x214x+45=0的兩根， ? 且 a2＜ a3， ? 所以 a2=5， a3=9，故 d=4， a1=1， ? 所以 an=4n3(n∈ N*). 理科數(shù)學(xué) ? 當(dāng) n=1時(shí) ， a1=S1=3 122=6 15. ? 所以 an=6n5(n∈ N*). 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 33 ? (2)若 a1d≠0，問(wèn)數(shù)列 {an}中的任一項(xiàng) an是否一定在 (1)中數(shù)列 {bn}中？如果是，設(shè)此項(xiàng)為bm，探求此時(shí) n與 m的關(guān)系式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 由 (1)知， bn=b1+ (n1)， ? 且 b1=a1， ? 即 bn=a1+ (n1)， an=a1+d(n1). ? 假設(shè)存在符合題意的項(xiàng)，則由 an=bm， 2d 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) 高中總復(fù)習(xí)（第 1輪） 理科數(shù)學(xué) ? 當(dāng) n≥6時(shí)， an＞ 0， ? 故當(dāng) n≤5時(shí)， Tn=Sn=9nn2； 理科數(shù)學(xué) 全國(guó)版 立足教育 開(kāi)創(chuàng)未來(lái) 15 ? 設(shè)等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng) a1及公差 d都是整數(shù) ,前 n項(xiàng)和為 Sn. ? (1)若 a11=0， S14=98,求數(shù)列 {an}的通
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