屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--28等差數(shù)列-閱讀頁
2025-02-02 18:01本頁面
【正文】 an}成等差數(shù)列的 充要 條件 . (2)等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng)是 a1,公差為 n項(xiàng)之和可以寫成 Sn=An2+Bn,則 當(dāng) d≠0時(shí)它表示 二次 函數(shù) ,數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=An2+Bn是 {an}成等差數(shù)列的 充要 條件 . 1,22ddA B a? ? ? (3)等差數(shù)列的增減性 ,d0時(shí)為 遞增 數(shù)列 ,且當(dāng) a10時(shí)前 n項(xiàng)和 Sn有最 小 值 .d0時(shí)為 遞減 數(shù)列 ,且當(dāng) a10時(shí)前 n項(xiàng)和 Sn有最 大 值 . (1)若數(shù)列 {an}和 {bn}是等差數(shù)列 ,則 {man+kbn}仍為等差數(shù)列 ,其中 m,k為常數(shù) . (2)等差數(shù)列中依次 k項(xiàng)和成等差數(shù)列 ,即 Sk,S2kSk,S3kS2k,?成等差數(shù)列 ,且公差為 k2d(d是原數(shù)列公差 ). (3)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n的等差數(shù)列 {an},有 S2n=n(a1+a2n)=? =n(an+an+1)(an與 an+1為中間的兩項(xiàng) )。第二十八講等差數(shù)列 回歸課本 (1)如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起 ,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的 差 都等于同一個(gè)常數(shù) ,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列 ,這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的 公差 ,通常用字母 d表示 .定義的表達(dá)式為 an+1an=d(n∈ N*). (2)對(duì)于正整數(shù) m、 n、 p、 q,若 m+n=p+q,則等差數(shù)列中 am、 an、 ap、 aq的關(guān)系為 am+an=ap+aq。如果 a,A,b成等差數(shù)列 ,那么 A叫做 a與 b的 等差中項(xiàng) ,其中 .2A ab? ? n項(xiàng)和公式 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=a1+(n1)d。 S偶 S奇 =nd。S奇 S偶 =an。 山東煙臺(tái)高三診斷 )在等差數(shù)列 {an}中 ,若前 5項(xiàng)和S5=20,則 a3等于 ( ) 解析 :S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.∴ a3=4. 答案 :A 3.(2022 (2)利用等差中項(xiàng)證明 ,即證明 an+2+an=2an+1(n∈ N*). 注意 :在選擇方法時(shí) ,要根據(jù)題目的特點(diǎn) ,如果能夠求出數(shù)列的通項(xiàng)公式 ,則可以利用定義法 ,否則 ,可以利用等差中項(xiàng)法 . 【 典例 1】 已知數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 an=pn2+qn(p、 q∈ R,且p、 q為常數(shù) ). (1)當(dāng) p和 q滿足什么條件時(shí) ,數(shù)列 {an}是等差數(shù)列 。 ② 由 a1,d,n,an,Sn這五個(gè)量中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量 ,需選用恰當(dāng)?shù)墓?,利用方程組觀點(diǎn)求解 . 【 典例 2】 已知等差數(shù)列 {an}中 ,a2=8,前 10項(xiàng)和 S10=185. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 an。 (2)a1+a2+a3+a4=124,an+an1+an2+an3=156,Sn=210,求項(xiàng)數(shù)n。 ② 通項(xiàng)公式法 :求使 an≥0(或 an≤0)成立的最大 n值即可得 Sn的最大 (或最小 )值 。 當(dāng) n≥2時(shí) ,an=SnSn1=112n. 由于 n=1時(shí) ,a1=9也滿足 an=112n, 因此 an=112n. 由 112n0,得 11.2n ?即從第 6項(xiàng)開始數(shù)列各項(xiàng)為負(fù) ,那么 Tn=|a1|+|a2|+? +|an| =(a1+a2+? +an)+2(a1+a2+? +a5) =Sn+2S5=n210n+2 (10 552) =n210n+50. [剖析 ]錯(cuò)解中忽視了 “ 項(xiàng)數(shù) ” ,默認(rèn)了 n5,事實(shí)上 ,n完全可以小于或等于 ,當(dāng) n≤5時(shí) ,結(jié)論就是錯(cuò)的 . [正解 ]對(duì) n進(jìn)行分類 : (1)由上述可知 an=112n. 當(dāng) n5時(shí) ,同上述錯(cuò)解 ,得 Tn=n210n+5
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