屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--28等差數(shù)列-wenkub.com
2025-01-15 18:01 本頁面
【正文】 當(dāng) n≥2時 ,an=SnSn1=112n. 由于 n=1時 ,a1=9也滿足 an=112n, 因此 an=112n. 由 112n0,得 11.2n ?即從第 6項開始數(shù)列各項為負(fù) ,那么 Tn=|a1|+|a2|+? +|an| =(a1+a2+? +an)+2(a1+a2+? +a5) =Sn+2S5=n210n+2 (10 552) =n210n+50. [剖析 ]錯解中忽視了 “ 項數(shù) ” ,默認(rèn)了 n5,事實上 ,n完全可以小于或等于 ,當(dāng) n≤5時 ,結(jié)論就是錯的 . [正解 ]對 n進(jìn)行分類 : (1)由上述可知 an=112n. 當(dāng) n5時 ,同上述錯解 ,得 Tn=n210n+50。 (2)a1+a2+a3+a4=124,an+an1+an2+an3=156,Sn=210,求項數(shù)n。 (2)利用等差中項證明 ,即證明 an+2+an=2an+1(n∈ N*). 注意 :在選擇方法時 ,要根據(jù)題目的特點 ,如果能夠求出數(shù)列的通項公式 ,則可以利用定義法 ,否則 ,可以利用等差中項法 . 【 典例 1】 已知數(shù)列 {an}的通項公式 an=pn2+qn(p、 q∈ R,且p、 q為常數(shù) ). (1)當(dāng) p和 q滿足什么條件時 ,數(shù)列 {an}是等差數(shù)列 。S奇 S偶 =an。如果 a,A,b成等差數(shù)列 ,那么 A叫做 a與 b的 等差中項 ,其中 .2A ab? ? n項和公式 等差數(shù)列的通項公式為 an=a1+(n1)d。前 n項和公式為 Sn= 或 1()2 nn a a? ( 1).2nn d? (1)等差數(shù)列的通項是關(guān)于自然數(shù) n的 一次 函數(shù) (d≠0).(n,an)是直線上的一群孤立的點 ,an=an+b(a、 b是常數(shù) )是 {an}成等差數(shù)列的 充要 條件 . (2)等差數(shù)列 {an}的首項是 a1,公差為 n項之和可以寫成 Sn=An2+Bn,則 當(dāng) d≠0時它表示 二次 函數(shù) ,數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn=An2+Bn是 {an}成等差數(shù)列的 充要 條件 . 1,22ddA B a? ? ? (3)等差數(shù)列的增減性 ,d0時為 遞增 數(shù)列 ,且當(dāng) a10時前 n項和 Sn有最 小 值 .d0時為 遞減 數(shù)列 ,且當(dāng) a10時前 n項和 Sn有最 大 值 . (1)若數(shù)列 {an}和 {bn}是等差數(shù)列 ,則 {man+kbn}仍為等差數(shù)列 ,其中 m,k為常數(shù) . (2)等差數(shù)列中依次 k項和成等差數(shù)列 ,即 Sk,S2kSk,S3kS2k,?成等差數(shù)列 ,且公差為 k2d(d是原數(shù)列公差 ). (3)項數(shù)為偶數(shù) 2n的等差數(shù)列 {an},有 S2n=n(a1+a2n)=? =n(an+an+1)(an與 an+1為中間的兩項 )。 S奇 ?S偶 分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和 . .1S nSn? ?奇偶 (1)等差數(shù)列 {an}中 ,若 an=m,am=n(m≠n),則 am+n=0. (2)等差數(shù)列 {an}中 ,若 Sn=m,Sm=n(m≠n),則 Sm+n=(m+n). (3)等差數(shù)列 {an}中 ,若 Sn=Sm(m≠n),則 Sm+n=0. (4)若 {an}與 {bn}均為等差數(shù)列 ,且前 n項和分別為 Sn與 S′n,則 2121.mmmmaSbS??? ? (1)定義法 :an+1an=d(常數(shù) )?{an}是等差數(shù)列 . (2)中項公式法 :2an+1=an+an+2(n∈ N*)?{an}是等差數(shù)列 . (3)通項公式法 :an=pn+q(p,
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