屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--22正弦定理和余弦定理-閱讀頁
2025-02-02 18:14本頁面
【正文】 ) cos120176。 ,∴ B點(diǎn)在 C點(diǎn)的正東方向上 , ∴∠ CBD=90176。 =120176。 ,∴ 緝私船沿北偏東 60176。 ,∠ BCD=30176。 ,∴ BD=BC,即 ∴ t= 小時(shí) ≈15分鐘 . ∴ 緝私船應(yīng)沿北偏東 60176。(2)確定實(shí)際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊和角的對(duì)應(yīng)關(guān)系 。(4)給出結(jié)論 . 錯(cuò)源一 因忽視邊角關(guān)系而致錯(cuò) 【 典例 1】 在△ ABC中 ,已知 A=60176。 或 B=135176。 ,則A+B=195176。 ,故 B=135176。 應(yīng)舍去 . [正解 ]在△ ABC中 ,由正弦定理可得 因?yàn)?ab,所以 AB,所以 B=45176。 [評(píng)析 ]已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 ,求另一邊的對(duì)角時(shí) ,一定要注意根據(jù)邊角關(guān)系 ,確定適合題意的角是一個(gè)還是兩個(gè) . 錯(cuò)源二 因忽視邊角關(guān)系而致錯(cuò) 【 典例 2】 在△ ABC中 ,tanA=a2,tanB=b2,那么△ ABC是 () [剖析 ]上述錯(cuò)解忽視了滿足 sin2A=sin2B的另一個(gè)角之間的關(guān)系 :2A+2B=180176。 ,求最大邊長(zhǎng) . [錯(cuò)解 ]由 可得 bc=4, 所以 abc,即最大邊長(zhǎng)為 a, 所以 A=120176。 , 因?yàn)?b=a4,c=b4=a8, 所以在△ ABC中由余弦定理 ,得 解得 a=14或 a=4, 因?yàn)?a=4+b,所以 a4, 所以最大邊長(zhǎng)為 14. [評(píng)析 ]對(duì)于題目中的隱含條件 ,尤其是范圍條件 ,一定要善于挖掘 . 錯(cuò)源五 忽視內(nèi)角和定理的限制 [答案 ]A 技法一 方程思想 【 典例 1】 如圖 ,D是直角△ ABC斜邊 BC上一點(diǎn) ,AB=AD,記∠ CAD=α,∠ ABC=β. (1)證明 :sinα+cos2β=0。 的直線 xx′,yy′,其交點(diǎn)為 O,甲、乙兩輛汽車分別在 xx′,Oy′上行駛 ,起初甲離 O點(diǎn) 30 km,乙離 O點(diǎn) 10 km,后來兩車均用 60 km/h的速度 ,甲沿 xx′方向 ,乙沿 yy′方向行駛 (設(shè)甲、乙兩車最初的位置分別為A,B). (1)起初兩車的距離是多少 ? (2)用包含 t的式子表示 ,t小時(shí)后兩車的距離是多少 ? [解 ](1)由余弦定理 ,知 AB2=OA2+OB22 OA OB cos60176。 . 此時(shí) OP=3060t,OQ=10+60t. 由余弦定理 ,得 PQ2=(3060t)2+(10+60t)22 (3060t)(10+60t)cos60176。 . 此時(shí) OP=60t30,OQ=10+60t. 由余弦定理 ,得 PQ2=(60t30)2+(10+60t)22 (60t30)(10+60t)cos120176。 ,向山頂前進(jìn) 100 m后 ,又從 B點(diǎn)測(cè)得斜度為 45176。再在△ BCD中 ,利用正弦定理得到關(guān)于 θ的三角函數(shù)關(guān)系式 ,進(jìn)而解出 θ. [方法與技巧 ]題中已知條件較多 ,為了求傾斜角 ,根據(jù)題意畫出其示意圖 ,將已知條件歸結(jié)到△ ABC與△ BCD中 .在△ BCD中 ,利用三角形的性質(zhì) ,將 ∠ CDB與角 θ聯(lián)系起來 ,從而在兩個(gè)三角形中 ,利用正弦定理將 θ求出 .
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