屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--50古典概型與幾何概型-資料下載頁
2025-01-18 18:01本頁面
【正文】 式的選擇 ,則需要分析題目中所描述的事件之間的關(guān)系 . 錯源二 構(gòu)造隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形出錯 【 典例 2】 向面積為 S的正方形 ABCD內(nèi)投一點(diǎn) P,試求三角形 PBC的面積小于 的概率 . [錯解 ] 如圖所示 ,設(shè)三角形 PBC的邊 BC上的高為 PF,線段 PF所在的直線交 AD于點(diǎn) E, 則當(dāng)點(diǎn) P到底邊 BC的距離小于 EF的一半時 ,有 即 0S△ PBC 記事件 A為 “ 三角形 PBC的面積小于 ” ,由幾何概型可得 [剖析 ] 錯解構(gòu)造的圖形有誤 ,如圖所示 ,設(shè) G為 AB的中點(diǎn) ,H為CD的中點(diǎn) ,則點(diǎn) P可以是矩形 GBCH內(nèi)的任意一點(diǎn) . [正解 ] 如圖所示 ,設(shè) G為 AB的中點(diǎn) ,H為 CD的中點(diǎn) ,當(dāng)點(diǎn) P是矩形 GBCH內(nèi)的任意一點(diǎn)時 ,P到底邊 BC的距離小于 AB的一半 ,所以 0S△ PBC ,記事件 A為 “ 三角形 PBC的面積小于 ” ,由幾何概型可得 技法一 “ 有放回的 ” ?“ 與順序有關(guān)的 ” 古典概型 【 典例 1】 一袋中裝有大小相同 ,編號分別為 1,2,3,4,5,6,7,8的八個球 ,從中有放回地每次取一個球 ,共取 2次 ,則取得兩個球的編號和不小于 15的概率為 ( ) [剖析 ] 本題是一個 “ 有放回的 ” ?“ 與順序有關(guān)的 ” 古典概型問題 ,故可由圖表法求解 . [解析 ] 設(shè) “ 取得兩個球的編號和不小于 15” 為事件 A,如圖所示 .由圖易知 : 整個基本事件空間包含 64個基本事件 ,事件 A包含 3個基本事件 ,故 選 D. [答案 ] D 技法二 “ 不放回的 ” ?“ 與順序無關(guān)的 ” 古典概型 【 典例 2】 在一個袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字 1,2,3,4,5的五個小球 ,這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同 .現(xiàn)從中隨機(jī)取出 2個小球 ,則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為 3或 6的概率是 ( ) [解析 ] 設(shè) “ 從中隨機(jī)取出 2個小球 ,取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為 3或 6” 為事件 A,容易判斷這是個與 “ 順序無關(guān)的 ”?“ 不放回的 ” 古典概型問題 ,如圖 .由圖易知 :整個基本事件空間包含 10個基本事件 ,事件 A包含 3個基本事件 (如圖中圓圈對應(yīng)的基本事件 ),由古典概型公式可得 選 A. [答案 ] A 技法三 數(shù)形結(jié)合方法求解 【 典例 3】 把一顆骰子投擲兩次 ,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) ,并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 a,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 b,向量m=(a,b),n=(1,2),則向量 m與向量 n垂直的概率是 ( ) [解析 ] 如圖 ,由題意可知 :向量 m=(a,b)共有 36個 ,所以基本事件空間包括的基本事件個數(shù)是 m⊥ n得 m n=a2b=0,即 a=2b. 設(shè) “ 向量 m與向量 n垂直 ” 為事件 A,則事件 A包含的基本事件有 3個 :(2,1),(4,2),(6,3).由古典概型公式可知 :P(A)= .故選 B. [答案 ] B [方法與技巧 ] 本題以古典概型為背景 ,加入了向量形式的條件 ,把概率和向量垂直交融在一起 ,利用數(shù)形結(jié)合的思想求解 .
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