屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--44空間幾何體的表面積與體積-資料下載頁(yè)
2025-01-18 18:02本頁(yè)面
【正文】 何體的三視圖如圖 (尺寸的長(zhǎng)度單位為 m).則該幾何體的體積為 ________m3. [錯(cuò)解 ] 該幾何體為三棱錐 ,底面為腰為 4,底為 3的等腰三角形,高為 2. ∴ [剖析 ] 把正視圖看成三棱錐的一個(gè)面造成誤解 .三視圖中的每一個(gè)視圖都是整個(gè)幾何體在某一屏幕上的投影 ,不一定是某個(gè)面留下的投影 .這類問題不能孤立的分析某一視圖 . 31 1 5 5 5 52 3 ( ) .3 2 2 2Vm? ? ?? ? ? [正解 ] 由三視圖可知原幾何體是一個(gè)三棱錐 ,由 “ 長(zhǎng)對(duì)正 ,寬相等 ,高平齊 ” 的原則可知三棱錐的高為 2,底面三角形的底邊長(zhǎng)為 4,高為 3,則所求棱錐的體積為 V= 3 4 2=4. [答案 ] 4 1132?技法一 等積轉(zhuǎn)化思想方法 【 典例 1】 如圖 ,一個(gè)三棱柱容器中盛有水 ,且側(cè)棱 AA1=8,若AA1B1B水平放置時(shí) ,液面恰好過 AC,BC,A1C1,B1C1的中點(diǎn),則當(dāng)?shù)酌?ABC水平放置時(shí) ,液面的高為多少 ? [解 ] 當(dāng) AA1B1B水平放置時(shí) ,縱截面中水的面積占 1 所以水的體積與三棱柱體積比為 當(dāng)?shù)酌?ABC水平放置時(shí) ,液面高度為 8 =6. [方法與技巧 ] 容器中水的體積不會(huì)減少 ,運(yùn)用等積思想可不用計(jì)算體積 ,而通過體積比進(jìn)而化為高度比 . 13,44?3.434技法二 巧解三棱錐的體積 【 典例 2】 已知正三棱錐 P— ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直 ,側(cè)棱長(zhǎng)都等于 a,如圖 1,求此三棱錐的體積 . [解 ] 解法一 :設(shè)頂點(diǎn) P在底面 ABC上的射影為 O,則 O為△ ABC的中心 ,連接 CO延長(zhǎng)交 AB于 M,連接 PM,則CM⊥ AB且 M為 AB的中點(diǎn) . 在△ ABC中 ,易求得 222P A B C A B C23R t P MO , P1 1 6.3 3 63,31.36OV S P OOM M C AC AM aPM M O aa??? ? ? ?????在 中所 以解法二 :轉(zhuǎn)換三棱錐頂點(diǎn) ,如圖 AP⊥ PB⊥ PC, 所以三棱錐 A— PBC的高為 PA,底面△ PBC為直角三角形 . 所以 VP— ABC=VA— PBC= S△ PBC AP 133211 .3 2 6aaa????解法三 :由三棱錐 PA⊥ PB⊥ PC,易聯(lián)想到以 PBC為底面可以補(bǔ)成三棱柱 AB′C′PBC,如圖 3,它與三棱錐 A— PBC的高均為 AP,底面為△ PBC,易知錐體的體積是與其等底等高的柱體體積的 1,3P A B C A P B C A B C P B3C136V .VVa? ? ? ??? ? ?于 是 [方法與技巧 ] 該題題目雖小 ,但其解法涵蓋了求解幾何體體積常用的幾種思維方法 .解法一是直接法 ,它是對(duì)應(yīng)體積公式的通法 。解法二是等體積轉(zhuǎn)化法 ,針對(duì)錐體的幾何特點(diǎn) ,變換頂點(diǎn) ,體積不變 .解法三是補(bǔ)形法 ,這是直接法遇阻時(shí)經(jīng)常采用的間接求解策略 .諸如還可將三棱錐補(bǔ)形成為四棱柱 ,三棱柱補(bǔ)形成為平行六面體等 ,與此法相對(duì)的還有分割法 ,即將一個(gè)幾何體分割成幾部分來(lái)進(jìn)行求解 .
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