【正文】 2）由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長，進而確定出AB的長，連接EF，過O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長，由BG+GC求出BC的長，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長即可．【解答】（1）證明：連接OD，∵BD為∠ABC平分線，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90176。，∴∠ODA=90176。，則AC為圓O的切線；（2）解：過O作OG⊥BC，∴四邊形ODCG為矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴=，即=，解得：OA=，∴AB=+10=，連接EF，∵BF為圓的直徑，∴∠BEF=90176。，∴∠BEF=∠C=90176。，∴EF∥AC，∴=，即=，解得：BE=12．【點評】此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．15．（2016貴州畢節(jié)）如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且CD=CB，以BC為直徑作⊙O，交BD于點E，連接CE，過D作DF⊥AB于點F，∠BCD=2∠ABD．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若∠A=60176。，DF=，求⊙O的直徑BC的長．【考點】切線的判定．【分析】（1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可證得∠BCE=∠ABD，繼而求得∠ABC=90176。，則可證得AB是⊙O的切線；（2）由∠A=60176。，DF=，可求得AF、BF的長，易證得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．【解答】（1）證明：∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠CBE=90176。，∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，∴∠BCE=∠DCE，即∠BCD=2∠BCE，∵∠BCD=2∠ABD，∴∠ABD=∠BCE，∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90176。，∴CB⊥AB，∵CB為直徑，∴AB是⊙O的切線；（2）∵∠A=60176。，DF=，∴在Rt△AFD中，AF===1，在Rt△BFD中，BF=DF?tan60176。==3，∵DF⊥AB，CB⊥AB，∴DF∥BC，∴∠ADF=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ADF∽△ACB，∴=，∴=，∴CB=4．16．（2016山東省濱州市4分）如圖，過正方形ABCD頂點B，C的⊙O與AD相切于點P，與AB，CD分別相交于點E、F，連接EF．（1）求證：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的長．【考點】切線的性質；正方形的性質．【分析】（1）根據切線的性質得到OP⊥AD，由四邊形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OP∥CD，根據平行線的性質得到∠PFD=∠OPF，由等腰三角形的性質得到∠OPF=∠OFP，根據角平分線的定義即可得到結論；（2）由∠C=90176。，得到BF是⊙O的直徑，根據圓周角定理得到∠BEF=90176。，推出四邊形BCFE是矩形，根據矩形的性質得到EF=BC，根據切割線定理得到PD2=DF?CD，于是得到結論．【解答】解：（1）連接OP，BF，PF，∵⊙O與AD相切于點P，∴OP⊥AD，∵四邊形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OP∥CD，∴∠PFD=∠OPF，∵OP=OF，∴∠OPF=∠OFP，∴∠OFP=∠PFD，∴PF平分∠BFD；（2）連接EF，∵∠C=90176。，∴BF是⊙O的直徑，∴∠BEF=90176。，∴四邊形BCFE是矩形，∴EF=BC，∵AB∥OP∥CD，BO=FO，∴OP=AD=CD，∵PD2=DF?CD，即（）2=?CD，∴CD=4，∴EF=BC=4．【點評】本題考查了切線的性質，正方形的性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，平行線的性質，切割線定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．17．（2016山東省德州市4分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點E，交BC于點D，過點E做直線l∥BC．（1）判斷直線l與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若∠ABC的平分線BF交AD于點F，求證：BE=EF；（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）連接OE、OB、OC．由題意可證明，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三線合一的性質可證明OE⊥BC，于是可證明OE⊥l，故此可證明直線l與⊙O相切；（2）先由角平分線的定義可知∠ABF=∠CBF，然后再證明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依據等角對等邊證明BE=EF即可；（3）先求得BE的長，然后證明△BED∽△AEB，由相似三角形的性質可求得AE的長，于是可得到AF的長．【解答】解：（1）直線l與⊙O相切．理由：如圖1所示：連接OE、OB、OC．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴．∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC，∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l．∴直線l與⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．∴，即，解得；AE=．∴AF=AE﹣EF=﹣7=．【點評】本題主要考查的是圓的性質、相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形外角的性質、切線的判定，證得∠EBF=∠EFB是解題的關鍵．18.（2016山東省東營市8分）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的圓交AC于點D，∠ABD＝∠ACB. (1)求證：AB是圓的切線； (2)若點E是BC上一點，已知BE＝4 ,tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圓的直徑．【知識點】與圓有關的位置關系——切線的判定、銳角三角函數——三角函數的求法【思路分析】(1)根據∠ABD＝∠ACB和∠ACB＋∠DBC＝ 90176?？傻谩螦BC＝90176。，然后根據切線的判定定理可判斷AB是圓的切線；(2) 根據BE＝4 ,tan∠AEB＝先求出AB的長，再根據AB∶BC＝2∶3求出BC的長，即得直徑.【解答】(1)證明：∵BC是直徑，∴∠BDC＝90176。,∴∠ACB＋∠DBC＝ 90176。.又∵∠ABD＝∠ACB,∴∠ABD＋∠DBC＝90176。,∴AB⊥BC.又∵點B在圓上，∴AB是圓的切線．(2)解：在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，∴＝，即AB＝BE＝4＝．∵AB∶BC＝2∶3，∴BC＝AB＝＝10.∴圓的直徑為10.【方法總結】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．圓中有半徑時，可應用“直徑所對的圓周角是直角”來得到直角三角形. 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質和特殊角的三角函數值．也考查銳角的三角函數值，考慮將已知銳角的三角函數值轉化為直角三角形的邊之比，來解決問題．19．（2016山東省菏澤市3分）如圖，直角△ABC內接于⊙O，點D是直角△ABC斜邊AB上的一點，過點D作AB的垂線交AC于E，過點C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延長線于點P，連結PO交⊙O于點F．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PC=3，PF=1，求AB的長．【考點】切線的判定；切割線定理．【分析】（1）連接OC，欲證明PC是⊙O的切線，只要證明PC⊥OC即可．（2）延長PO交圓于G點，由切割線定理求出PG即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，連接OC，∵PD⊥AB，∴∠ADE=90176。，∵∠ECP=∠AED，又∵∠EAD=∠ACO，∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90176。，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切線．（2）延長PO交圓于G點，∵PFPG=PC2，PC=3，PF=1，∴PG=9，∴FG=9﹣1=8，∴AB=FG=8．【點評】本題考查切線的判定、切割線定理、等角的余角相等等知識，解題的關鍵是熟練運用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型