【正文】 元）最大？最大利潤是多少？【考點】HE：二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題中條件銷售價每降低10元，月銷售量就可多售出50臺，即可列出函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售即可求出x的取值．（2）用x表示y，然后再用x來表示出w，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大w；【解答】解：（1）根據(jù)題中條件銷售價每降低10元，月銷售量就可多售出50臺，則月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數(shù)關(guān)系式：y=200+50，化簡得：y=﹣5x+2200；供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺，則，解得：300≤x≤350．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣5x+2200；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350內(nèi)，∴當(dāng)x=320時，最大值為72000，即售價定為320元/臺時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w最大，最大利潤是72000元．　27．如圖1，平面直角坐標(biāo)系x0y中，點A（0，2），B（1，0），C（﹣4，0）點D為射線AC上一動點，連結(jié)BD，交y軸于點F，⊙M是△ABD的外接圓，過點D的切線交x軸于點E．（1）判斷△ABC的形狀；（2）當(dāng)點D在線段AC上時，①證明：△CDE∽△ABF；②如圖2，⊙M與y軸的另一交點為N，連結(jié)DN、BN，當(dāng)四邊形ABND為矩形時，求tan∠DBC；（3）點D在射線AC運動過程中，若=，求的值．【考點】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】讀題知（1）已知三個點的坐標(biāo)，可以求出相應(yīng)線段的長度，運用三角函數(shù)可以證明∠ACO=∠BAO，進(jìn)一步證明∠BAC=90176。；（2）只需證明∠CDE=∠ABD，∠DCE=∠BAF，即可證明相似；當(dāng)四邊形ABND為矩形時，根據(jù)直角三角形AOB和直角三角形ABN相似，可求AN長度，進(jìn)一步求出OM，運用三角函數(shù)求解即可；（3）根據(jù)點D在線段AC上，和線段AC的延長線上分別討論求解．【解答】解：由點A（0，2），B（1，0），C（﹣4，0）可知：OA=2，OC=4，OB=1，在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理可求：AC==2，AB==．（1）在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，tan∠ACO==，tan∠BAO==，所以∠ACO=∠BAO，∵∠ACO+∠CAO=90176。，∴∠BAO+∠CAO=90176。，∠BAC=90176。，∴△ABC是直角三角形．（2）①由（1）知：∠BAC=90176。，∴BD是圓M的直徑，∵DE是圓M的切線，∴∠BDE=90176。．∴∠CDE+∠ADB=90176。，又∠ADB+∠ABD=90176。，∴∠CDE=∠ABD，∵∠DCE+∠ABO=90176。，∠ABO+∠BAF=90176。，∴∠DCE=∠BAF∴△CDE∽△ABF．②當(dāng)四邊形ABND為矩形時，∵∠ABN=90176。，∴AN是圓的直徑，由OB是直角三角形ABN的斜邊上的高線，由∠BAO=∠BA0，∠BOA=∠ABN=90176。，∴△AOB∽△ABN，∴=，∴AB2=OAAN，∵OA=2，AB=，可求：AN=，∴ON=，OM=MN﹣ON=，在直角三角形OBN中，tan∠DBC==．（3）若點D 在線段AC上，如圖2：由①知△CDE∽△ABF可得：，AC=2，由=，可得：CD=，AD=，在直角三角形ABD中，由勾股定理可求：BD==，∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90176。，∴△BFO∽△BED，∴，設(shè)：DE=2x，則BF=3x，由勾股定理得：OF==，∴，解得：x=，∴DE=，BF=，DF=BD﹣DF=，∴=，若點D在線段AC的延長線上，如圖3：∵DE是圓M的切線，∴∠BDE=90176?！唷螮DC+∠CDB=90176?！摺螦BD+∠CDB=90176。∴∠EDC=∠ABD，∵∠DEB+∠DBE=90176。，∠DBE+∠OFB=90176。∴∠DEB=∠OFB，∴△CDE∽△ABF，可得：，AC=2，由=，可得：CD=，∴AD=AC+CD=，由勾股定理得：BD==，∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90176。，∴△BFO∽△BED，∴，設(shè)：DE=2x，則BF=3x，由勾股定理得：OF==，∴=，解得：x=，∴DE=2x=，BF=3x=，DF=BD﹣DF=，∴=．綜上所述：的值是或． 圖3　28．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點E，點D為頂點，連接BD、CD、BC．（1）求證△BCD是直角三角形；（2）點P為線段BD上一點，若∠PCO+∠CDB=180176。，求點P的坐標(biāo)；（3）點M為拋物線上一點，作MN⊥CD，交直線CD于點N，若∠CMN=∠BDE，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)．【考點】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并配方成頂點式求頂點D的坐標(biāo)，和與y軸的交點C的坐標(biāo)，由勾股定理計算△BDC三邊的平方，利用勾股定理的逆定理證明△BCD是直角三角形；（2）作輔助線，構(gòu)建直角三角形PCQ與直角三角形BDC相似，根據(jù)比例式表示出點P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式，因為點P為線段BD上一點，代入直線BD的解析式列方程可求出點P的坐標(biāo)；（3）同理求直線CD的解析式為：y=﹣x﹣3，由此表示點N的坐標(biāo)為（a，﹣a﹣3），因為M在拋物線上，所以設(shè)M（x，x2﹣2x﹣3），根據(jù)同角的三角函數(shù)得：tan∠BDE=tan∠CMN=，則，如圖2，證明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程組解出即可；如圖3，證明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程組解出即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）兩點代入拋物線y=x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴C（0，﹣3），D（1，﹣4），由勾股定理得：BC2=32+32=18，CD2=12+（4﹣3）2=2，BD2=（3﹣1）2+42=20，∴CD2+BC2=BD2，即∠BCD=90176。，∴△BCD是直角三角形；（2）作PQ⊥OC于點Q，∴∠PQC=90176。，∵∠PCO+∠CDB=180176。，∠PCO+∠PCQ=180176。，∴∠CDB=∠PCQ，∵∠PQC=∠BCD=90176。，∴△PCQ∽△BDC，∴=3，∴PQ=3CQ，設(shè)CQ=m，則PQ=3m，設(shè)P（3m，﹣3﹣m），設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，把B（3，0）、D（1，﹣4）代入得：，解得：，∴直線BD的解析式為：y=2x﹣6，將點P的坐標(biāo)代入直線BD：y=2x﹣6得：﹣3﹣m=23m﹣6，m=，∴3m=，﹣3﹣m=﹣3﹣=﹣，∴P（，﹣）； （3）∵∠CMN=∠BDE，∴tan∠BDE=tan∠CMN==，∴，同理可求得：CD的解析式為：y=﹣x﹣3，設(shè)N（a，﹣a﹣3），M（x，x2﹣2x﹣3），①如圖2，過N作GF∥y軸，過M作MG⊥GF于G，過C作CF⊥GF于F，則△MGN∽△NFC，∴=，∴=2，則，∴x1=0（舍），x2=5，當(dāng)x=5時，x2﹣2x﹣3=12，∴M（5，12），②如圖3，過N作FG∥x軸，交y軸于F，過M作MG⊥GF于G，∴△CFN∽△NGM，∴=，∴==，則，∴x1=0（舍），x2=，當(dāng)x=時，y=x2﹣2x﹣3=﹣，∴M（，﹣），綜上所述，點M的坐標(biāo)（5，12）或（，﹣）．