北師大九級上第四章圖形的相似單元測試含答案解析-資料下載頁
2025-01-14 18:41本頁面
【正文】 ， =，∴=，即CF2=GF?EF．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．也考查了平行四邊形的性質． 18．（8分）已知：如圖AD?AB=AF?AC，求證：△DEB∽△FEC．【考點】相似三角形的判定．【專題】證明題．【分析】利用兩邊對應比值相等，且夾角相等的兩三角形相似，進而得出即可．【解答】證明：∵AD?AB=AF?AC，∴=，又∵∠A=∠A，∴△DEB∽△FEC．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關鍵． 19．以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上．（1）求AM，DM的長；（2）求證：AM2=AD?DM；（3）根據（2）的結論你能找出圖中的黃金分割點嗎？【考點】黃金分割；勾股定理；正方形的性質．【分析】（1）由勾股定理求PD，根據AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA，DM=AD﹣AM求解；（2）由（1）計算的數據進行證明；（3）根據（2）的結論得： =，根據黃金分割點的概念，則點M是AD的黃金分割點．【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2，∴PD==，∴AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA=﹣1，DM=AD﹣AM=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）證明：∵AM2=（﹣1）2=6﹣2，AD?DM=2（3﹣）=6﹣2，∴AM2=AD?DM；（3）點M是AD的黃金分割點．理由如下：∵AM2=AD?DM，∴═=，∴點M是AD的黃金分割點．【點評】此題綜合考查了正方形的性質、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據黃金分割的概念進行判斷． 20．已知：如圖，AD是Rt△ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長線于點F，求證：FD2=FB?FC．【考點】相似三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】首先連接AF，可證得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的對應邊成比例證得FA2=FB?FC，則可得FD2=FB?FC．【解答】證明：連接AF，∵EF是AD的垂直平分線，∴AF=DF，∴∠FAE=∠FDE，∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，∴∠FAB=∠C，∵∠AFB是公共角，∴△AFB∽△CFA，∴，∴FA2=FB?FC，即FD2=FB?FC．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用． 21．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90176。，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE?AD=16，．（1）求AC的長；（2）求EG的長．【考點】相似三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；三角形中位線定理．【專題】幾何圖形問題．【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90176。，所以△ACE和△ADC相似，根據相似三角形對應邊成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE?AD，代入數據計算即可；（2）根據勾股定理求出BC的長度為8，再根據AD平分∠CAB交BC于點D，CE⊥AD證明△ACE和△AFE全等，根據全等三角形對應邊相等，CE=EF，最后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半EG=BC．【解答】解：（1）∵CE⊥AD，∴∠AEC=90176。，∵∠ACB=90176。，∴∠AEC=∠ACB，又∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2=AE?AD，∵AE?AD=16，∴AC2=16，∴AC=4；（2）在△ABC中，BC===8，∵AD平分∠CAB交BC于點D，∴∠CAE=∠FAE，∵CE⊥AD，∴∠AEC=∠AEF=90176。，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（ASA），∴CE=EF，∵EG∥BC，∴EG=BC=8=4．【點評】本題主要考查兩角對應相等，兩三角形相似，相似三角形對應邊成比例，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，熟練掌握性質并靈活運用是解題的關鍵，難度適中． 第23頁（共23頁）
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