【正文】 28．在學習了正方形后，數(shù)學小組的同學對正方形進行了探究，發(fā)現(xiàn)： （ 1）如圖 1，在正方形 ABCD 中，點 E 為 BC 邊上任意一點（點 E 不與 B、 C 重合），點 F 在線段 AE 上，過點 F 的直線 MN⊥ AE，分別交 AB、 CD 于點 M、 N．此時，有結(jié)論 AE=MN，請進行證明； （ 2）如圖 2：當點 F 為 AE 中點時，其他條 件不變，連接正方形的對角線 BD，第 43 頁（共 72 頁） MN 與 BD 交于點 G，連接 BF，此時有結(jié)論： BF=FG，請利用圖 2 做出證明． （ 3）如圖 3：當點 E 為直線 BC 上的動點時，如果（ 2）中的其他條件不變，直線 MN 分別交直線 AB、 CD 于點 M、 N，請你直接寫出線段 AE 與 MN 之間的數(shù)量關(guān)系、線段 BF 與 FG 之間的數(shù)量關(guān)系． 29．如圖所示，將菱形 ABCD 放置于平面直角坐標系中，其中 AB 邊在 y 軸上，點 C 坐標為（ 4， 0）．直線 m： 經(jīng)過點 B，將該直線沿著 y 軸以每秒1 個單位的速度向上平移，設(shè)平移時間為 t，經(jīng)過點 D 時停止平移． （ 1）填空：點 D 的坐標為 ； （ 2）設(shè)平移時間為 t，求直線 m 經(jīng)過點 A、 C、 D 的時間 t； （ 3）已知直線 m 與 BC 所在直線互相垂直，在平移過程中，直線 m 被菱形 ABCD 截得線段的長度為 l，請寫出 l 與平移時間 t 的函數(shù)關(guān)系表達式（不必寫出詳細的解答過程，簡要說明你的解題思路，寫清結(jié)果即可）． 第 44 頁（共 72 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（每小題 3 分，共 30 分）：下面各題均有四個選項，其中只有一個符合題意． 1．在平面直角坐標系中，點 P（ 3，﹣ 5）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】 點的坐標． 【分析】 根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特征解答． 【解答】 解：點 P（ 3，﹣ 5）在第四象限． 故選 D． 2．下列環(huán)保標志中，是中心對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 【考點】 中心對稱圖形． 【分析】 根據(jù)中心對稱圖形的概念求解即可． 【解答】 解： A、是中心對稱圖形，本選項正確； B、不是中心對稱圖形，本選項錯誤； C、不是中心對稱圖形，本選項錯誤； D、不是中心對稱圖形，本選項錯誤． 故選 A． 3．一個多邊形的內(nèi)角和是 720176。，這個多邊形是（ ） A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．六邊形 【考點】 多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】 利用 n 邊形的內(nèi)角和可以表示成（ n﹣ 2） ?180176。，結(jié)合方程即可求出答案． 【解答】 解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為 n，由題意，得 （ n﹣ 2） 180176。=720176。， 第 45 頁（共 72 頁） 解得： n=6， 故這個多邊形是六邊形． 故選： B． 4．如圖，在 ?ABCD 中， ∠ D=120176。，則 ∠ A 的度數(shù)等于（ ） A． 120176。 B． 60176。 C． 40176。 D． 30176。 【考點】 平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)平行四邊形的鄰角互補即可得出 ∠ A 的度數(shù)． 【解答】 解： ∵ ABCD 是平行四邊形， ∴ AB∥ CD， ∴∠ A=180176。﹣ ∠ D=60176。． 故選 B． 5．如果 4x=5y（ y≠ 0），那么下列比例式成立的是（ ） A． = B． = C． = D． = 【考點】 比例的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)等式的性質(zhì)：等式的兩邊都除以同一個不為零的數(shù)，結(jié)果不變，可得答案． 【解答】 解： 4x=5y（ y≠ 0），兩邊都除以 20，得 = ，故 B 正確； 故選： B． 6．如圖， M 是 Rt△ ABC 的斜邊 BC 上一點（ M 不與 B、 C 重合），過點 M 作直線截 △ ABC，所得的三角形與 △ ABC 相似，這樣的直線共有（ ） 第 46 頁（共 72 頁） A． 0 條 B． 2 條 C． 3 條 D．無數(shù)條 【考點】 相似三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)題意可得過點 M 作 AB 的垂線，或作 AC 的垂線，或作 BC 的垂線，所得三角形滿足題意． 【解答】 解： ∵ 截得的三角形與 △ ABC 相似， ∴ 過點 M 作 AB 的垂線，或作 AC 的垂線，或作 BC 的垂線，所得三角形滿足題意． ∴ 過點 M 作直線 l 共有三條， 故選： C． 7．甲和乙一起練習射擊，第一輪 10 槍打完后兩人的成績?nèi)鐖D所示．設(shè)他們這10 次射擊成績的方差為 S 甲 S 乙 2，下列關(guān)系正確的是（ ） A． S 甲 2＜ S 乙 2 B． S 甲 2＞ S 乙 2 C． S 甲 2=S 乙 2 D．無法確定 【考點】 方差． 【分析】 結(jié)合圖形，乙的成績波動比較大，則波動大的方差就大． 【解答】 解：從圖看出：甲選手的成績波動較小，說明它的成績較穩(wěn)定，乙的波第 47 頁（共 72 頁） 動較大，則其方差大， 故選： A． 8．菱形 ABCD 的對角線 AC=6， BD=8，那么邊 AB 的長度是（ ） A． 10 B． 5 C． D． 【考點】 菱形的性質(zhì)． 【分析】 由菱形對角線的性質(zhì)，相互垂直平分即可得出菱形的邊長． 【解答】 解：根據(jù)題意，設(shè)對角線 AC、 BD 相交于 O， ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴ AO= AC=3， BO= BD=4，且 AO⊥ BO， ∴ AB=5， 故選： B． 9．如圖是用杠桿撬石頭的示意圖， C 是支點，當用力壓杠桿的 A 端時，杠桿繞C 點轉(zhuǎn)動，另一端 B 向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的 B 端必須向上翹起 10cm，已知杠桿的動力臂 AC 與阻力臂 BC 之比為 5： 1，則要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的 A 端向下壓（ ） A． 100cm B． 60cm C． 50cm D． 10cm 【考點】 相似三角形的應(yīng)用． 【分析】 利用相似比解題，在實際操作過程中，用力方向是平行的，構(gòu)成兩個相似三角形． 第 48 頁（共 72 頁） 【解答】 解：假設(shè)向下下壓 x 厘米，則 = =5，解得 x=50 故選 C． 10．如圖，矩形 ABCD 中，對角線 AC， BD 交于點 O， E， F 分別是邊 BC， AD 的中點， AB=2， BC=4，一動點 P 從點 B 出發(fā)，沿著 B﹣ A﹣ D﹣ C 在矩形的邊上運動，運動到點 C 停止，點 M 為圖 1 中某一定點，設(shè)點 P 運動的路程為 x， △ BPM 的面積為 y，表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 2 所示．則點 M 的位置可能是圖 1 中的（ ） A．點 C B．點 O C．點 E D．點 F 【考點】 動點問題的函數(shù)圖象． 【分析】 從圖 2 中可看出當 x=6 時，此時 △ BPM 的面積為 0，說明點 M 一定在BD 上，選項中只有點 O 在 BD 上，所以點 M 的位置可能是圖 1 中的點 O． 【解答】 解： ∵ AB=2， BC=4，四邊形 ABCD 是矩形， ∴ 當 x=6 時，點 P 到達 D 點，此時 △ BPM 的面積為 0，說明點 M 一定在 BD 上， ∴ 從選項中可得只有 O 點符合，所以點 M 的位置可能是圖 1 中的點 O． 故選： B． 二、填空題（每小題 3 分，共 18 分） 11．函數(shù) 的自變量 x 的取值范圍是 x≠ 3 ． 【考點】 函數(shù)自變量的取值范圍． 【分析】 根據(jù)分母不等于 0 列不等式求解即可． 【解答】 解：由題意得， x﹣ 3≠ 0， 解得 x≠ 3． 第 49 頁（共 72 頁） 故答案為： x≠ 3． 12． “今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？ ”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形城池 ABCD，城墻 CD 長 9 里，城墻 BC 長 7 里，東門所在的點 E，南門所在的點 F 分別是CD， BC 的中點， EG⊥ CD， EG=15 里， FH⊥ BC，點 C 在 HG 上，問 FH 等于多少里？答案是 FH= 里． 【考點】 三角形綜合題；勾股定理的應(yīng)用． 【分析】 首先根據(jù)題意得到 △ GEA∽△ AFH，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列出比例式求得答案即可． 【解答】 解： EG⊥ AB， FH⊥ AD， HG 經(jīng)過 A 點， ∴ FA∥ EG， EA∥ FH， ∴∠ HFA=∠ AEG=90176。， ∠ FHA=∠ EAG， ∴△ GEA∽△ AFH， ∴ EG： FA=EA： FH， ∵ AB=9 里， DA=7 里， EG=15 里， ∴ FA= 里， EA= 里， ∴ 15： =： FH， 解得： FH= 里． 故答案為： ． 13．四邊形 ABCD 中， ∠ A=∠ B=∠ C=90176。，請你再添加一個條件，使該四邊形是正方形，你所添加的條件是 AB=BC ． 【考點】 正方形的判定． 【分析】 先由 ∠ A=∠ B=∠ C=90176。，得出四邊形 ABCD 是矩形，再根據(jù)正方形的判第 50 頁（共 72 頁） 定：有一組鄰邊相等的矩形是正方形可得出結(jié)果． 【解答】 解： ∵∠ A=∠ B=∠ C=90176。， ∴ 四邊形 ABCD 是矩形， 又 ∵ 有一組鄰邊相等的矩形是正方形， ∴ 可填： AB=BC． 故答案為 AB=BC． 14．五子棋的比賽規(guī)則是一人執(zhí)黑子，一人執(zhí)白子，兩人輪流出棋，每次放一個棋子在棋盤的格點處，只要有同色的五個棋子先連成一條線（橫、豎、 斜均可）就獲得勝利．如圖是兩人正在玩的一盤棋，若白棋 A 所在點的坐標是（﹣ 2， 2），黑棋 B 所在點的坐標是（ 0， 4），現(xiàn)在輪到黑棋走，黑棋放到點 C 的位置就獲得勝利，點 C 的坐標是 （ 3， 3） ． 【考點】 坐標確定位置． 【分析】 根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的平面直角坐標系，從而可以得到點 C 的坐標． 【解答】 解：由題意可得，如右圖所示的平面直角坐標系， 故點 C 的坐標為（ 3， 3）， 故答案為：（ 3， 3）． 15．已知一次函數(shù) y=kx+b 的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，請你賦予 k 和 b 具體第 51 頁（共 72 頁） 的數(shù)值，寫出一個符合條件的表達式 y=x﹣ 1，答案不唯一 ． 【考點】 一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】 經(jīng)過第一、三象限，說明 x 的系數(shù)大于 0，得 k＞ 0，又經(jīng)過第四象限，說明常數(shù)項小于 0，即 b＜ 0，即可確定 k 的取值范圍． 【解答】 解：由題意得， k＞ 0， b＜ 0 故符合條件的函數(shù)可以為： y=x﹣ 1 故答案為： y=x﹣ 1，答案不唯一． 16．閱讀下面材料： 在數(shù)學課上，老師提出如下問題： 尺規(guī)作圖：過直線外一點作已知直線的平行線． 已知：直線 l 及其外一點 A． 求作： l 的平行線，使它經(jīng)過點 A． 小云的作法如下： （ 1）在直線 l 上任取兩點 B， C； （ 2）以 A 為圓心，以 BC 長為半徑作??；以 C 為圓心，以 AB 長為半徑作弧，兩弧相交于點 D； （ 3）作直線 AD． 直線 AD 即為所求． 老師說： “小云的作法正確． ”請回答：小云的作圖依據(jù)是 四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對邊平行；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對邊平行；兩點確定一條直線．（此題答案不唯一，能夠完整地說明依據(jù)且正確即可） ． 【考點】 作圖 —復(fù)雜作圖． 第 52 頁（共 72 頁） 【分析】 利用菱形的性質(zhì)得出作出以 A， B， C， D 為頂點的四邊形，進而得出答案． 【解答】 解：由題意可得，小云的作圖依據(jù)是 ：四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對邊平行．（本題答案不唯一）． 故答案為：四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對邊平行． 三、解答題（本題共 72 分，第 1726 題，每小題 5 分，第 27 題 7 分，第 28 題7 分，第 29 題 8 分） 17．證明：如果 ，那么 ． 【考點】 比例的性質(zhì)． 【分析】 設(shè) ，得出 a=bk， c=dk，代入即可得出答案． 【解答】 證明： ∵ ，可設(shè) ， ∴ a=bk， c=dk， ∴ = = ， = = ， ∴ = ． 18．如圖， △ ABC 中， D、 E 分別是 AB、 AC 上的點，且滿足 AB?AD=AE?AC，連接 DE 求證： ∠ ABC=∠ AED． 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 由 AD?AC=AE?AB， ∠ A 是公共角，即可證得 △ ADE∽△ ABC，又由相似三角形的對應(yīng)角