【正文】 P=90176。， ∴ △ ACB∽ △ 0NP ∴ = ， 又 ∵ AB=13 AC=5 OP= ， 代入得 ON= ， ∴ AN=OA+ON=9 ∴ 在 Rt△ OPN 中，有 NP2=0P2﹣ ON2=36 在 Rt△ ANP 中 有 PA= = =3 ∴ PA=3 ． 【點(diǎn)評】 本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵． (2022山西大同 一模）如圖，已知： AB 是 O 的弦， CD 是 O 的直徑， CD⊥ AB，垂足為 E，且點(diǎn) E 是 OD 的中點(diǎn)， O 的切線 BM 與 AO 的延長線相交于點(diǎn) M，連接 AC、CM （ 1）若 AB=43，求 O 的半徑及弧 AB的長度 . （ 2）求證：四邊形 ABMC是菱形 . 答案： 解（ 1）連接 OB ∵ OA=OB， E是 AB 的中點(diǎn) ∴∠ AOE=∠ BOE, OE⊥ AB 又∵ OE=12 OA ∴∠ OAB=30176。，∠ AOE=60176。 設(shè) AO為 x，則 OE=12 x ∴ x=4 ∴弧 AB 長 l= （ 2）由（ 1）∠ OAB=∠ OBA=30176。 ∠ BOM=∠ COM=60176。，∠ AMB=30176。 ∴ AB=BM 在△ COM和△ BOM中 OC=OB ∠ COM=∠ BOM OM=OM ∴△ COM≌△ BOM（ SAS） ∴ CM=BM=AB ∴ AB∥ CM ∴ ABCD是菱形 （ 2022河北石家莊一模） 先閱讀材料，再解答問題： 小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角相等．如圖，點(diǎn) A、 B、 C、 D 均為 ⊙ O 上的點(diǎn)，則有 ∠ C=∠ D．小明還發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn) E 在 ⊙ O外，且與點(diǎn) D 在直線 AB 同側(cè)，則有 ∠ D＞ ∠ E． 請你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問題： （ 1）如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 0， 7），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 （ 0， 3），點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 3， 0）． ①在圖 1 中作出 △ ABC 的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法）； ②若在 x 軸的正半軸上有一點(diǎn) D，且 ∠ ACB=∠ ADB，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 （ 7， 0） ； （ 2）如圖 2，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 0， m），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 0， n），其中 m＞ n＞ 0．點(diǎn) P 為 x 軸正半軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng) ∠ APB 達(dá)到最大時，直接寫出此時點(diǎn)P 的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1） ①作出 △ ABC 的兩邊的中垂線的交點(diǎn)，即可確定圓心，則外接圓即可作出； ②D 就是 ①中所作的圓與 x 軸 的正半軸的交點(diǎn)，根據(jù)作圖寫出坐標(biāo)即可； （ 2）當(dāng)以 AB 為弦的圓與 x 軸正半軸相切時，對應(yīng)的 ∠ APB 最大，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解． 【解答】 解：（ 1） ① 090M B OC D C M A B? ? ?? ? ?Q又 MCO= 　 　 且 CD ②根據(jù)圖形可得，點(diǎn) D 的坐標(biāo)是（ 7， 0）； （ 2）當(dāng)以 AB 為弦的圓與 x 軸正半軸相切時，作 CD⊥ y 軸，連接 CP、 CB． ∵ A 的坐標(biāo)為（ 0， m），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 0， n）， ∴ D 的坐標(biāo)是（ 0， ），即 BC=PC= ， 在直角 △ BCD 中， BC= ， BD= ， 則 CD= = ， 則 OP=CD= ， 故 P 的坐標(biāo)是（ ， 0）． 【點(diǎn)評】 本題考查了 垂徑定理以及勾股定理，正確理解當(dāng)以 AB 為弦的圓與 x 軸正半軸相切時，對應(yīng)的 ∠ APB 最大，是關(guān)鍵． （ 2022廣東一模） （ 本題滿分 10 分）定義：數(shù)學(xué)活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C 在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請在方格圖中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)， AB、 BC 為邊的兩個對等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， AB 是 ⊙ O 的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC 中， ∠ PCB=90176。， BC=11， tan∠ PBC= ，點(diǎn) A 在 BP 邊上，且AB=13．用圓規(guī)在 PC 上找到符合條件的點(diǎn) D，使四邊形 ABCD 為對等四邊形，并求出 CD的長． 解：（ 1）如圖 1 所示（畫 2 個即可）． （ 2）如圖 2，連接 AC， BD， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADB=∠ ACB=90176。， 在 Rt△ ADB 和 Rt△ ACB 中， ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ ACB， ∴ AD=BC， 又 ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴ AB≠CD， ∴ 四邊形 ABCD 是對等四邊形． （ 3）如圖 3，點(diǎn) D 的位置如圖所示： ①若 CD=AB，此時點(diǎn) D 在 D1 的位置， CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此時點(diǎn) D 在 D D3 的位置， AD2=AD3=BC=11， 過點(diǎn) A 分別作 AE⊥ BC， AF⊥ PC，垂足為 E， F， 設(shè) BE=x， ∵ tan∠ PBC= ， ∴ AE= ， 在 Rt△ ABE 中， AE2+BE2=AB2，即 ，解得： x1=5， x2﹣ 5（舍去）， ∴ BE=5， AE=12， ∴ CE=BC﹣ BE=6， 由四邊形 AECF 為矩形，可得 AF=CE=6， CF=AE=12，在 Rt△ AFD2 中， ∴ ， ， 綜上所述， CD 的長度為 1 12﹣ 或 12+ ． 1 （ 2022 廣東 深圳 一模） 如圖，在邊長為 2 的圓內(nèi)接正方形 ABCD 中， AC 是對角線，P 為邊 CD 的中點(diǎn)，延長 AP 交圓于點(diǎn) E． （ 1） ∠ E= 45 度； （ 2）寫出圖中現(xiàn)有的一對不全等的相似三角形，并說明理由； （ 3）求弦 DE 的長． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理． 【專題】 幾何綜合題． 【分析】 由 “同弧所對的圓周角相等 ”可知 ∠ E=∠ ACD=45176。， ∠ CAE=∠ EDC，所以 △ ACP∽ △ DEP；求弦 DE 的長有兩種方法： 一，利用 △ ACP∽△ DEP 的相似比 求 DE 的長； 二、過點(diǎn) D 作 DF⊥ AE 于點(diǎn) F，利用 Rt△ DFE 中的勾股定理求得 DE 的長． 【解答】 解：（ 1） ∵ ∠ ACD=45176。， ∠ ACD=∠ E， ∴ ∠ E=45176。． （ 2） △ ACP∽ △ DEP， 理由： ∵ ∠ AED=∠ ACD， ∠ APC=∠ DPE， ∴ △ ACP∽ △ DEP． （ 3）方法一： ∵ △ ACP∽ △ DE P， ∴ ． ∵ P 為 CD 邊中點(diǎn)， ∴ DP=CP=1 ∵ AP= ， AC= ， ∴ DE= ． 方法二： 如圖 2，過點(diǎn) D 作 DF⊥ AE 于點(diǎn) F， 在 Rt△ ADP 中， AP= ． 又 ∵ S△ ADP=AD?DP=AP?DF， ∴ DF= ． ∴ DE= DF= ． 【點(diǎn)評】 此題主要考查相似三角形的判定及圓周角定理的運(yùn)用．