【正文】 2） 2=x2+42解得 x=3， ∴點 M（ 0，﹣ 3），直線 DM 為 y=﹣ x﹣ 3， 由 解得 ， ∴ R1（﹣ 7， ）， R2（ 4，﹣ 6）， ∴直線 R1H1為 y=﹣ 2x﹣ ，此時 Q1（﹣ ， 0）， 直線 R2H2為 y=﹣ 2x+2，此時 Q2（ ）， ②當(dāng)∠ DR3H3=∠ ACO時，∵ R3Q3⊥ DC， AC⊥ DC， ∴∠ R3DH3=∠ CNK， ∴ DR3∥ OC， ∴ R3（﹣ 4， 6），直線 R3Q3為 y=﹣ 2x﹣ 2， ∴ Q3（﹣ 1， 0）． 綜上所述滿足條件的點 Q的坐標(biāo)為 Q1（﹣ ， 0）， Q2（ ）， Q3（﹣ 1， 0）． 10. （ 2022吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)一模） （ 10分）如圖，在 RtABC? 中， 90ACB? ? ? ，2AC BC??， CD AB? 于點 D ．動 點 P 從點 A 出發(fā)，沿 AC? 以 1cm/s 的速度向終點 C 運動，點 P 不與 AC、 重合 ． 過點 P 作 PQ BC 交折線 AD DC? 于點 Q ， 以 PQ為邊向 PQ 右側(cè)作正方形 PQMN ．設(shè)正方形 PQMN 與 ACD? 重疊部分圖形的面積為2(cm)S ，點 P 運動的時間為 (s)t ． （ 1）當(dāng)點 M 在 CD 邊上時，求的值． （ 2）用含的代數(shù)式表示 PQ 的長． （ 3）求 S 與 之間 的函數(shù) 關(guān)系 式． 答案： 解：（ 1）如圖 ① ， 32t? ， 23t? ． NMQPDCBA （ 2） ① 當(dāng) 01t?? 時， PQ t? ． ② 當(dāng) 12t?? 時， 2PQ t?? ． （ 3） ① 如圖 ② ，當(dāng) 203t??時， 2St? ． ② 如圖 ③ ，當(dāng) 2 13 t??時， 27 622S t t? ? ? ?． ③ 如圖 ④ ，當(dāng) 12t?? 時， 21( 2)2St??． 11. （ 2022廣東東莞聯(lián)考） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A（ 0， 4 ），點 B在 x 正半軸上，且 ∠ ABO=30 度．動點 P 在線段 AB 上從點 A 向點 B 以每秒 個單位的速度運動，設(shè)運動時間為 t 秒．在 x 軸上取兩點 M， N 作等邊 △ PMN． （ 1）求直線 AB 的解析式； （ 2）求等邊 △ PMN 的邊長（用 t 的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)?shù)冗?△ PMN 的頂點 M 運動到與原點 O 重合時 t 的值； （ 3）如果取 OB 的中點 D，以 OD 為邊在 Rt△ AOB 內(nèi)部作如圖 2 所示的矩形 ODCE，點 C在線段 AB 上．設(shè)等邊 △ PMN 和矩形 ODCE 重疊 部分的面積為 S，請求出當(dāng) 0≤t≤2 秒時 S與 t 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S 的最大值． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【專題】 壓軸題；動點型；分類討論． 【分析】 （ 1）先在直角三角形 AOB 中，根據(jù) ∠ ABO 的度數(shù)和 OA 的長，求出 OB 的長，即可得出 B 點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線 AB 的解析式． A BCDPQMNNMQPDCBAFENMQPDCBA(N )MQPDCBA圖 ① 圖 ② 圖 ③ 圖 ④ （ 2）求等邊三角形的邊長就是求出 PM 的長，可在直角三角形 PMB 中，用 t 表示出 BP 的長，然后根據(jù) ∠ ABO 的度數(shù)，求出 PM 的長． 當(dāng) M、 O 重合時，可在直角三角形 AOP 中，根據(jù) OA 的長求出 AP 的長，然后根據(jù) P 點的速度即可求出 t 的 值． （ 3）本題要分情況進(jìn)行討論： ① 當(dāng) N在 D點左側(cè)且 E在 PM右側(cè)或在 PM上時，即當(dāng) 0≤t≤1時，重合部分是直角梯形 EGNO． ② 當(dāng) N 在 D 點左側(cè)且 E 在 PM 左側(cè)時，即當(dāng) 1＜ t＜ 2 時，此時重復(fù)部分為五邊形，（如圖 3）其面積可用 △ PMN 的面積﹣ △ PIG 的面積﹣ △ OMF 的面積來求得．（也可用梯形 ONGE 的面積﹣三角形 FEI 的面積來求）． ③ 當(dāng) N、 D 重合時，即 t=2 時，此時 M、 O 也重合，此時重合部分為等腰梯形． 根據(jù)上述三種情況，可以得出三種不同的關(guān)于重合部分面積與 t 的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的 取值范圍求出對應(yīng)的 S 的最大值． 【解答】 解：（ 1）由 OA=4 ， ∠ ABO=30176。，得到 OB=12， ∴ B（ 12， 0），設(shè)直線 AB 解析式為 y=kx+b， 把 A 和 B 坐標(biāo)代入得： ， 解得： ， 則直線 AB 的解析式為： y=﹣ x+4 ． （ 2） ∵∠ AOB=90176。， ∠ ABO=30176。， ∴ AB=2OA=8 ， ∵ AP= t， ∴ BP=AB﹣ AP=8 t， ∵△ PMN 是等邊三角形， ∴∠ MPB=90176。， ∵ tan∠ PBM= ， ∴ PM=（ 8 ﹣ t） =8﹣ t． 如圖 1，過 P 分別作 PQ⊥ y 軸于 Q， PS⊥ x 軸于 S， 可求得 AQ=AP= t， PS=QO=4 ﹣ t， ∴ PM=（ 4 ﹣ ） 247。 =8﹣ t， 當(dāng)點 M 與點 O 重合時， ∵∠ BAO=60176。， ∴ AO=2AP． ∴ 4 =2 t， ∴ t=2． （ 3） ① 當(dāng) 0≤t≤1 時，見圖 2． 設(shè) PN 交 EC 于點 G，重疊部分為直角梯形 EONG，作 GH⊥ OB 于 H． ∵∠ GNH=60176。， ， ∴ HN=2， ∵ PM=8﹣ t， ∴ BM=16﹣ 2t， ∵ OB=12， ∴ ON=（ 8﹣ t）﹣（ 16﹣ 2t﹣ 12） =4+t， ∴ OH=ON﹣ HN=4+t﹣ 2=2+t=EG， ∴ S=（ 2+t+4+t） 2 =2 t+6 ． ∵ S 隨 t 的增大而增大， ∴ 當(dāng) t=1 時， Smax=8 ． ② 當(dāng) 1＜ t＜ 2 時，見圖 3． 設(shè) PM 交 EC 于點 I，交 EO 于點 F， PN 交 EC 于點 G，重疊部分為五邊形 OFIGN． 作 GH⊥ OB 于 H， ∵ FO=4 ﹣ 2 t， ∴ EF=2 ﹣（ 4 ﹣ 2 t） =2 t﹣ 2 ， ∴ EI=2t﹣ 2． ∴ S=S 梯形 ONGE﹣ S△ FEI=2 t+6 ﹣（ 2t﹣ 2）（ 2 t﹣ 2 ） =﹣ 2 t2+6 t+4 由題意可得 MO=4﹣ 2t， OF=（ 4﹣ 2t） ， PC=4 ﹣ t， PI=4﹣ t， 再計算 S△ FMO=（ 4﹣ 2t） 2 S△ PMN= （ 8﹣ t） 2， S△ PIG= （ 4﹣ t） 2， ∴ S=S△ PMN﹣ S△ PIG﹣ S△ FMO= （ 8﹣ t） 2﹣ （ 4﹣ t） 2﹣（ 4﹣ 2t） 2 =﹣ 2 t2+6 t+4 ∵ ﹣ 2 ＜ 0， ∴ 當(dāng) 時， S 有最大值， Smax= ． ③ 當(dāng) t=2 時， MP= MN=6，即 N 與 D 重合， 設(shè) PM 交 EC 于點 I， PD 交 EC 于點 G，重疊部 分為等腰梯形 IMNG，見圖 4． S= 62﹣ 22=8 ， 綜上所述：當(dāng) 0≤t≤1 時， S=2 t+6 ； 當(dāng) 1＜ t＜ 2 時， S=﹣ 2 t2+6 t+4 ； 當(dāng) t=2 時， S=8 ． ∵ ， ∴ S 的最大值是 ． 【點評】 本題考查一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、三角形相似及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．