【正文】 解析式為： y=ax2+bx， 將點(diǎn) B（ 5， 5）、點(diǎn) A（ 30， 0）代入，得： ， 解得： ． 故拋物線解析式為： y=﹣ x2+x； （ 2） ∵ y=﹣ x2+x=﹣ （ x﹣ 15） 2+9， ∴ 當(dāng) x=15 時， y 取得最大值，最大值為 9， 故在正常水位時橋面 CD 距離水面的高度為 9 米； （ 3）根據(jù)題意，當(dāng) y=7 時，有﹣ x2+x=7， 解得： x1=15+5 ， x2=15﹣ 5 ， 則貨箱最寬為： 15+5 ﹣（ 15﹣ 5 ） =10 米． 答：若要使貨船在警戒水位時能安全通 過該拱橋，則貨箱最寬應(yīng)為 10 米． 1 （ 2022 青島一模） 問題情境： 我們知道若一個矩形的周長固定，當(dāng)相鄰兩邊相等，即為正方形時，面積是最大的，反過來，若一個矩形的面積固定，它的周長是否會有最值呢？ 探究方法： 用兩條直角邊分別為 a、 b 的四個全等的直角三角形，可以拼成一個正方形，若 a≠b，可以拼成如圖 ①的正方形，從而得到 a2+b2 ，即 a2+b2＞ 2ab；若 a=b，可以拼成如圖②的正方形，從而得到 a2+b2 ，即 a2+b2=2ab． 于是我們可以得到結(jié)論： a， b 為正數(shù)，總有 a2+b2≥2ab，且當(dāng) a=b 時，代數(shù)式 a2+b2 取得最小值為 2ab． 另外，我們也可以通過代數(shù)式運(yùn)算得到類似上面的結(jié)論． ∵ （ a﹣ b） 2﹣ 2ab+b2≥0， a2+b2≥2ab， ∴ 對于任意實(shí)數(shù) a， b，總有 a2+b2≥2ab，且當(dāng) a=b 時，代數(shù)式 a2+b2 取得最小值為 2ab． 仿照上面的方法，對于正數(shù) a， b 試比較 a+b 和 2 的大小關(guān)系． 類比應(yīng)用 利用上面所得到的結(jié)論，完成填空： （ 1） x2+ ≥ 2x? ，代數(shù)式 x2+ 有最 小 值為 2 ． （ 2）當(dāng) x＞ 0 時， x+≥ 2 ，代數(shù)式 x+有最 小 值為 6 ． （ 3）當(dāng) x＞ 2 時， x+ ≥2 +2 ，代數(shù)式 x+ 有最 小 值為 2 +2 ． 問題解決： 若一個矩形的面積固定為 n，它的周長是否會有最值呢？若有，求出周長的最值及此時矩形的長和寬；若沒有，請說明理由，由此你能得到怎樣的結(jié)論？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 探究方法：仿照給定的方法，即可得出 a+b≥2 這一結(jié)論； 類比應(yīng)用：（ 1）根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論； （ 2）根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論； （ 3）代數(shù)式中先﹣ 2 再 +2，根據(jù)探究方法中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論； 問題解決：設(shè)該矩形的長為 a，寬為 b（ a≥b＞ 0），根據(jù) a+b≥2 ，結(jié)合矩形的周長和面積公式，即可得出結(jié)論． 【解答】 解：探究方法： ∵ 當(dāng) a， b 均為正數(shù)時， =a+b﹣ 2 ≥0， ∴ a+b≥2 ． 類比應(yīng)用： （ 1）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知： x2+ ≥2x?=2，代數(shù)式 x2+ 有最小值為 2． 故答案為： 2x?；??； 2． （ 2）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知： 當(dāng) x＞ 0 時， x+≥2 =6，代數(shù)式 x+有最小值為 6． 故答案為： 2 ；小； 6． （ 3）結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知： 當(dāng) x＞ 2 時， x+ ≥2 +2=2 +2，代數(shù)式 x+ 有最小值為 2 +2． 故答案為： 2 +2；??； 2 +2． 問題解決： 設(shè)該矩形的長為 a，寬為 b（ a≥b＞ 0）， 根據(jù)題意知：周長 C=2（ a+b） ≥4 =4 ，且當(dāng) a=b 時，代數(shù)式 2（ a+b）取得最小值為4 ， 此時 a=b= ． 故若一個矩形的面積固定為 n，它的周長是有最小值，周長的最小值為 4 ，此時矩形的長和寬均為 ． 1 （ 2022 泰安一模） 如圖，已知拋物線與 x 軸交于 A（﹣ 1， 0）、 E（ 3， 0）兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn) B（ 0， 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為 D，求四邊形 AEDB 的面積； （ 3） △ AOB 與 △ DBE 是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）易得 c=3，故設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+bx+3，根據(jù)拋物線所過的三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程組，解可得 a、 b 的值，即可得解析式； （ 2）易由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形間的關(guān)系可得四邊形 ABDE 的面積 =S△ ABO+S梯形 BOFD+S△ DFE，代入數(shù)值可得答案； （ 3）根據(jù)題意，易得 ∠ AOB=∠ DBE=90176。，且 ，即可判斷出兩三角形相似． 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物 線與 y 軸交于點(diǎn)（ 0， 3）， ∴ 設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+bx+3（ a≠0） 根據(jù)題意，得 ， 解得 ． ∴ 拋物線的解析式為 y=﹣ x2+2x+3； （ 2）如圖，設(shè)該拋物線對稱軸是 DF，連接 DE、 BD．過點(diǎn) B 作 BG⊥ DF 于點(diǎn) G． 由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D（ 1， 4） 設(shè)對稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 F ∴ 四邊形 ABDE 的面積 =S△ ABO+S 梯形 BOFD+S△ DFE = AO?BO+ （ BO+DF） ?OF+ EF?DF = 13+ （ 3+4） 1+ 24 =9； （ 3）相似，如圖， BD= ； ∴ BE= DE= ∴ BD2+BE2=20， DE2=20 即： BD2+BE2=DE2， 所以 △ BDE 是直角三角形 ∴∠ AOB=∠ DBE=90176。，且 ， ∴△ AOB∽△ DBE． 1 （ 2022 棗莊 41 中一模） 某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時的單價是 30 元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是 40 元時，銷售量是 600 件，而銷售單價每漲 1 元，就會少售出 10 件玩具． （ 1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為 x 元（ x＞ 40），請你分別用 x 的代數(shù)式來表示銷售量 y 件和銷售該品牌玩具獲得利潤 w 元，并把結(jié)果填寫在表格中： 銷 售單價（元） x 銷售量 y（件） 1000﹣ 10x 銷售玩具獲得利潤 w（元） ﹣ 10x2+1300x﹣ 30000 （ 2）在（ 1）問條件下，若商場獲得了 10000 元銷售利潤，求該玩具銷售單價 x 應(yīng)定為多少元． （ 3）在（ 1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于 44 元，且商場要完成不少于 540 件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】 優(yōu)選方案問題． 【分析】 （ 1）由銷售單價每漲 1 元，就會少售出 10 件玩具得 y=600﹣（ x﹣ 40） 10=1000﹣ 10x，利潤 =（ 1000﹣ 10x）（ x﹣ 30） =﹣ 10x2+1300x﹣ 30000； （ 2）令﹣ 10x2+1300x﹣ 30000=10000，求出 x 的值即可； （ 3）首先求出 x 的取值范圍，然后把 w=﹣ 10x2+1300x﹣ 30000 轉(zhuǎn)化成 y=﹣ 10（ x﹣ 65）2+12250，結(jié)合 x 的取值范圍，求出最大利潤． 【解答】 解：（ 1） 銷售單價（元） x 銷售量 y（件） 1000﹣ 10x 銷售玩具獲得利潤 w（元） ﹣ 10x2+1300x﹣ 30000 （ 2）﹣ 10x2+1300x﹣ 30000=10000 解之得： x1=50， x2=80 答：玩具銷售單價為 50 元或 80 元時，可獲得 10000 元銷售利潤， （ 3）根據(jù)題意得 解之得： 44≤x≤46， w=﹣ 10x2+1300x﹣ 30000=﹣ 10（ x﹣ 65） 2+12250， ∵ a=﹣ 10＜ 0，對稱軸是直線 x=65， ∴ 當(dāng) 44≤x≤46 時， w 隨 x 增大而增大． ∴ 當(dāng) x=46 時， W 最大值 =8640（元）． 答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為 8640 元． 1 （ 2022 棗莊 41 中一模） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a＞ 0）的圖象頂點(diǎn)為 D，與 y 軸交于點(diǎn) C，與 x 軸交于點(diǎn) A、 B，點(diǎn) A 在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0）， OB=OC， tan∠ ACO=． （ 1）求這個二次函數(shù)的解析式； （ 2）若平行于 x 軸的直線與該拋物線交于點(diǎn) M、 N，且以 MN 為直徑的圓與 x 軸相切，求該圓的半徑長度； （ 3）如圖 2，若點(diǎn) G（ 2， y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn) P 是直線 AG 下方的拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到什么位置時， △ AGP 的面積最大？求此時點(diǎn) P 的坐標(biāo)和 △ AGP 的最大面積． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）由點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0）， OB=OC，即可求得點(diǎn) C 的坐標(biāo)，又由 tan∠ ACO=，即可求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)，然后設(shè)兩點(diǎn)式 y=a（ x+1）（ x﹣ 3），將點(diǎn) C 代入，即可求得這個二次函數(shù)的解析式； （ 2）分別從當(dāng)直線 MN 在 x 軸上方時與當(dāng)直線 MN 在 x 軸下方時去分析，然后由所求圓的圓心在拋物線的對稱軸 x=1 上，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，又由點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，即可求得該圓的半徑長度； （ 3）首先過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線與 AG 交于點(diǎn) Q，然后求得點(diǎn) G 的坐與直線 AG 得方程，然后由 S△ AGP=S△ APQ+S△ GPQ=PQ?（ G 橫坐標(biāo) ﹣ A 橫坐標(biāo) ），利用二次函數(shù) 的最值問題，即可求得此時點(diǎn) P 的坐標(biāo)和 △ AGP 的最大面積． 【解答】 解：（ 1）由 OC=OB=3，可知點(diǎn) C 坐標(biāo)是（ 0，﹣ 3）， 連接 AC，在 Rt△ AOC 中， ∵ tan∠ ACO= ， ∴ OA=OCtan∠ ACO=3=1， 故 A（﹣ 1， 0）， … 設(shè)這個二次函數(shù)的表達(dá)式為： y=a（ x+1）（ x﹣ 3）， 將 C（ 0，﹣ 3）代入得：﹣ 3=a（ 0+1）（ 0﹣ 3）， 解得： a=1， ∴ 這個二次函數(shù)的表達(dá)式為： y=（ x+1）（ x﹣ 3） =x2﹣ 2x﹣ 3． … （ 2） ①當(dāng)直線 MN 在 x 軸上方時，設(shè)所求圓的半徑為 R（ R＞ 0），設(shè) M 在 N 的左側(cè)， ∵ 所求圓的圓心在拋物線的對稱軸 x=1 上， ∴ N（ R+1， R）代入 y=x2﹣ 2x﹣ 3 中得： R=（ R+1） 2﹣ 2（ R+1）﹣ 3， 解得 R= ． … ②當(dāng)直線 MN 在 x 軸下方時，設(shè)所求圓的半徑為 r（ r＞ 0），由 ①可知 N（ r+1，﹣ r），代入拋物線方程 y=x2﹣ 2x﹣ 3，可得﹣ r=（ r+1） 2﹣ 2（ r+1）﹣ 3， 解得： r= ． … （ 3）過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線與 AG 交于點(diǎn) Q， 把 G（ 2， y）代入拋物線的解析式 y=x2﹣ 2x﹣ 3，得 G（ 2，﹣ 3）． … 由 A（﹣ 1， 0）可得直線 AG 的方程為： y=﹣ x﹣ 1， … 設(shè) P（ x， x2﹣ 2x﹣ 3），則 Q（ x，﹣ x﹣ 1）， ∴ PQ=﹣ x2+x+2， S△ AGP=S△ APQ+S△ GPQ=PQ?（ G 橫坐標(biāo) ﹣ A 橫坐標(biāo) ） =（﹣ x2+x+2） 3=﹣（ x﹣） 2+ ， … 當(dāng) x=時， △ APG 的面積最大， … 此時 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣ ）， △ APG 的面積最大值為 ． … 15． （ 2022天津北辰區(qū) 一摸） （ 本小題 10 分） 如圖（ 1），在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（ 4， 0），點(diǎn) B（ 0，） . 沿 x軸向右平移Rt△ ABO，得 Rt△ ABO? ? ?，直線 OB??與 AB或 BA的延長線相交于點(diǎn) D. 設(shè) D（ x， y）（ 0x?），以點(diǎn) A， ?， B?， D為頂點(diǎn)的四邊形面 積記為 S. （ Ⅰ ）求 與 x的函數(shù)關(guān)系式； （ Ⅱ ）用含 （ 4?）的式子表示 S； （ Ⅲ ）當(dāng)103S?，求點(diǎn) D的坐標(biāo)（ 直接寫出結(jié)果） . （圖 2 為備用圖） . 解：（ Ⅰ ） 當(dāng)點(diǎn) O?與點(diǎn) A不重合時， ∵ BO??∥ OB， ∴ △ DO?∽△ ABO. ∴ DO AOBO AO?. 如圖 （ 1），點(diǎn) D 在 AB 上， 有 4A O A O O O x? ? ? ?. ∴ 434yx??. 即3 34?? ?. 如圖（ 2），點(diǎn) D 在 BA 延長線上， 有 4A O O O A O x??? ? ? ?. ∴ 4???. 即3 34? ?. 當(dāng)點(diǎn) O?與點(diǎn) A重合時， D與 A重合，此時， 0x?，3y?. ∴ y與 x的關(guān)系是：3 34yx?? ?. （ Ⅱ ） ① 如圖（ 1），當(dāng) 4x?? ?時， 點(diǎn) D