【正文】 1)求證： MN∶ NP 為定值； (2)若△ BNP 與△ MNA 相似，求 CM 的長； (3)若△ BNP 是等腰三角形，求 CM 的長． 圖 1 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“ 10 閘北 25”，拖動點(diǎn) M 在 CA 上運(yùn)動，可以看到△ BNP 與△ MNA 的形狀隨 M 的運(yùn)動而改變．雙擊按鈕“△ BNP∽△ MNA”，可以體驗(yàn)到，此刻兩個三角形都是直角三角形．分別雙擊按鈕 “ BP＝ BN， N 在 AB 上”、“ NB＝ NP”和“ BP＝ BN， N 在 AB 的延長線上”，可以準(zhǔn)確顯示等腰三角形 BNP 的三種情況． 思路點(diǎn)撥 1．第（ 1）題求證 MN∶ NP 的值要根據(jù) 點(diǎn) N 的位置分兩種情況．這個結(jié)論為后面的計(jì)算提供了方便． 2．第（ 2）題探求相似的兩個三角形有一組鄰補(bǔ)角，通過說理知道這兩個三角形是直角三角形時才可能相似． 3．第（ 3）題探求等腰三角形，要兩級（兩層）分類，先按照點(diǎn) N 的位置分類，再按照頂角的頂點(diǎn)分類．注意當(dāng) N 在 AB 的延長線上時，鈍角等腰三角形只有一種情況． 4．探求等腰三角形 BNP， N 在 AB 上時，∠ B 是確定的，把夾∠ B 的兩邊的長先表示出來，再分類計(jì)算． 滿分解答 (1)如圖 2，圖 3，作 NQ⊥ x 軸，垂足為 Q．設(shè)點(diǎn) M、 N 的運(yùn)動時間為 t 秒． 在 Rt△ ANQ 中， AN＝ 5t， NQ＝ 4t ， AQ＝ 3t． 在圖 2 中， QO＝ 6－ 3t， MQ＝ 10－ 5t，所以 MN∶ NP＝ MQ∶ QO＝ 5∶ 3． 在圖 3 中， QO＝ 3t－ 6， MQ＝ 5t－ 10，所以 MN∶ NP＝ MQ∶ QO＝ 5∶ 3． (2)因?yàn)椤?BNP 與△ MNA 有一組鄰補(bǔ)角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形．只有當(dāng)這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似． 如圖 4，△ BNP∽△ MNA，在 Rt△ AMN 中， 35ANAM? ，所以 5310 2 5t t ?? ．解得 3031t? ．此時CM 6031? ． 圖 2 圖 3 圖 4 (3)如圖 5，圖 6，圖 7 中， OP MPQN MN?，即 245OPt ? ．所以 85OP t? ． ①當(dāng) N 在 AB 上時，在△ BNP 中，∠ B 是確定的， 88 5BP t?? ， 10 5BN t??． (Ⅰ )如圖 5，當(dāng) BP＝ BN 時，解方程 88 10 55tt? ? ? ，得 1017t? ．此時 CM 2022? ． (Ⅱ )如圖 6，當(dāng) NB＝ NP 時， 45BE BN? ．解方程 ? ?1 8 48 1 0 52 5 5tt??? ? ?????，得 54t? ．此時CM 52? ． (Ⅲ )當(dāng) PB＝ PN 時， 1425BN BP? ．解方程 ? ?1 4 81 0 5 82 5 5tt??? ? ?????，得 t 的值為負(fù)數(shù)，因此不存在 PB＝ PN 的情況． ②如圖 7，當(dāng)點(diǎn) N 在線段 AB 的延長線上時，∠ B 是鈍角，只存在 BP＝ BN 的可能，此時 5 10BN t??．解方程 88 5 105tt? ? ? ，得 3011t? ．此時 CM 6011? ． 圖 5 圖 6 圖 7 考點(diǎn)伸展 如圖 6，當(dāng) NB＝ NP 時，△ NMA是等腰三角形， 1425BN BP? ，這樣計(jì)算簡便一些． 例 4 如圖 1，在矩形 ABCD 中， AB＝ m（ m 是大于 0 的常數(shù)）， BC＝ 8， E 為線段 BC 上的動點(diǎn)（不與 B、 C 重合）．連結(jié) DE，作 EF⊥ DE， EF 與射線 BA 交于點(diǎn) F，設(shè) CE＝ x， BF＝ y． （ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）若 m＝ 8，求 x 為何值時， y 的值最大，最大值是多少？ （ 3）若 12ym?，要使△ DEF 為等腰三角形， m 的值應(yīng)為多少？ 圖 1 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“ 10 南通 27”，拖動點(diǎn) E 在 BC 上運(yùn)動，觀察 y 隨 x 變化的函數(shù)圖像，可以體驗(yàn)到， y 是 x 的二次函數(shù)，拋物線的開口向下．對照圖形和圖像，可以看到，當(dāng) E 是 BC 的中點(diǎn)時， y 取得最大值．雙擊按鈕“ m＝ 8”，拖動 E 到 BC 的中點(diǎn)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn) F 是 AB 的四等分點(diǎn)． 拖動點(diǎn) A 可以改變 m 的值 ，再拖動圖像中標(biāo)簽為“ y 隨 x” 的點(diǎn)到射線 y＝ x 上，從圖形中可以看到，此時△ DCE≌△ EBF． 思路點(diǎn)撥 1．證明△ DCE∽△ EBF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以得到 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式． 2．第（ 2）題的本質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值． 3．第（ 3）題頭緒復(fù)雜，計(jì)算簡單，分三段表達(dá)．一段是說理，如果△ DEF 為等腰三角形，那么得到 x＝ y；一段是計(jì)算，化簡消去 m，得到關(guān)于 x 的一元二次方程，解出 x 的值；第三段是把前兩段結(jié)合，代入求出對應(yīng)的 m 的值． 滿分解答 (1)因?yàn)椤?EDC 與∠ FEB 都是∠ DEC 的余角，所以∠ EDC＝∠ FEB．又因?yàn)椤?C＝∠ B＝ 90176。，所以△ DCE∽△ EBF．因此 DC EBCE BF? ，即 8mxxy??．整理，得 y關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系為 218y x xmm? ? ? ． (2)如圖 2，當(dāng) m＝ 8 時， 2211 ( 4 ) 288y x x x? ? ? ? ? ? ?．因此當(dāng) x＝ 4 時， y 取得最大值為 2． (3) 若 12ym?，那么 212 1 8xxm m m? ? ? ．整理，得 2 8 12 0xx???．解得 x＝ 2或 x＝ 6．要使△ DEF 為等腰三角形，只存在 ED＝ EF 的情況．因?yàn)椤?DCE∽△ EBF，所以 CE＝ BF，即 x＝ y．將 x＝ y ＝ 2 代入 12ym?，得 m＝ 6（如圖 3）；將 x＝ y ＝ 6 代入 12ym?，得 m＝ 2（如圖 4）． 圖 2 圖 3 圖 4 考點(diǎn)伸展 本題中蘊(yùn)涵著一般性與特殊性的辯證關(guān)系，例如： 由第（ 1）題得到 218y x xmm? ? ? 221 1 1 6( 8 ) ( 4 )x x xm m m? ? ? ? ? ? ?， 那么不論 m 為何值，當(dāng) x＝ 4 時， y 都取得最大值．對應(yīng)的幾何意義是，不論 AB 邊為多長，當(dāng) E 是 BC的中點(diǎn)時， BF 都取得最大值．第（ 2）題 m＝ 8 是第（ 1）題一般性結(jié)論的一個特殊性． 再如，不論 m 為小于 8 的任何值，△ DEF 都可以成為等腰三角形，這是因?yàn)榉匠? 218x x xmm? ? ? 總有一個根 8xm?? 的．第（ 3）題是這個一般性結(jié)論的一個特殊性． 2022 中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題 (三 ) 例 5 已知：如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，矩形 OABC 的邊 OA 在 y 軸的正半軸上， OC 在 x軸的正半軸上， OA＝ 2， OC＝ 3，過原點(diǎn) O作 ∠ AOC 的平分線交 AB 于點(diǎn) D，連接 DC，過點(diǎn) D 作 DE⊥ DC，交 OA 于點(diǎn) E． （ 1）求過點(diǎn) E、 D、 C 的拋物線的解析式； （ 2）將 ∠ EDC 繞點(diǎn) D 按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) F，另一邊與線段 OC 交于點(diǎn) G． 如果 DF 與（ 1）中的拋物線交于另一點(diǎn) M，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 56 ，那么 EF＝ 2GO 是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由； （ 3）對于（ 2）中的點(diǎn) G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使得直線 GQ 與 AB 的交點(diǎn) P與點(diǎn) C、 G 構(gòu)成的 △ PCG 是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在成立，請說明理由 ． 圖 1 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“ 09 重慶 26”，拖動點(diǎn) G 在 OC 上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，△ DCG 與△ DEF保持全等，雙擊按鈕“ M 的橫坐標(biāo)為 ”，可以看到， EF＝ 2， GO＝ 1． 拖動點(diǎn) P 在 AB 上運(yùn)動的過程中，可以體驗(yàn)到，存在三個時刻，△ PCG 可以成為等腰三角形． 思路點(diǎn)撥 1．用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，這個解析式在第（ 2）、（ 3）題的計(jì)算中要用到． 2．過點(diǎn) M作 MN⊥ AB，根據(jù)對應(yīng)線段成比例可以求 FA 的長． 3． 將 ∠ EDC 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)的過程中， △ DCG 與△ DEF 保持全等． 4．第（ 3）題反客為主，分三種情況討論△ PCG 為等腰三角形，根據(jù)點(diǎn) P 的位置確定點(diǎn) Q的位置，再計(jì)算點(diǎn) Q 的坐標(biāo)． 滿分解答 （ 1）由于 OD 平分 ∠ AOC，所以點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 2， 2），因此 BC＝ AD＝ 1． 由于△ BCD≌△ ADE，所以 BD＝ AE＝ 1，因此點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ 0， 1）． 設(shè)過 E、 D、 C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 cbxaxy ??? 2 ，那么????????????.039,224,1cbacbac 解得65??a ， 613?b 1?c