【文章內(nèi)容簡介】 ）． ②如圖 3，當(dāng)點 P 在點 A 的右側(cè)時， x＞ 4， )4)(1(21 ??? xxPM ， 4??xAM ． 解方程 24 )4)(1(21?? ??x xx ，得 5?x ．此時點 P 的坐標(biāo)為 )2,5( ? ． 解方程 214 )4)(1(21?? ??x xx ，得 2?x 不合題意． ③如圖 4，當(dāng)點 P 在點 B 的左側(cè)時， x＜ 1， )4)(1(21 ??? xxPM ， xAM ??4 ． 解方程 24 )4)(1(21?? ?? xxx ，得 3??x ．此時點 P 的坐標(biāo)為 )14,3( ?? ． 解方程 214 )4)(1(21?? ?? xxx ，得 0?x ．此時點 P 與點 O重合，不合題意． 綜上所述，符合條件的 點 P 的坐標(biāo)為（ 2， 1）或 )14,3( ?? 或 )2,5( ? ． 圖 2 圖 3 圖 4 （ 3）如圖 5，過點 D 作 x 軸的垂線交 AC于 E．直線 AC 的解析式為 221 ?? xy ． 設(shè)點 D 的橫坐標(biāo)為 m )41( ??m ，那么點 D 的坐標(biāo)為 )22521,( 2 ??? mmm ，點 E 的坐標(biāo)為)221,( ?mm ．所以 )221()22521( 2 ?????? mmmDE mm 21 2 ??? ． 因此 4)221(21 2 ????? mmS D A C mm 42 ??? 4)2( 2 ???? m ． 當(dāng) 2?m 時，△ DCA 的面積最大，此時點 D 的坐標(biāo)為（ 2， 1）． 圖 5 圖 6 考點伸展 第（ 3）題也可以這樣解： 如圖 6，過 D 點構(gòu)造矩形 OAMN，那么 △ DCA 的面積等于直角梯形 CAMN 的面積減去△ CDN 和△ ADM 的面積． 設(shè)點 D 的橫坐標(biāo)為（ m， n） )41( ??m ，那么 42)4(21)2(214)22(21 ??????????? nmmnnmnS ． 由于 22521 2 ???? mmn ，所以 mmS 42 ??? ． 例 6 如圖 1，△ ABC 中， AB＝ 5， AC＝ 3， cosA＝ 310 ． D 為射線 BA 上的點（點 D 不與點 B 重合），作 DE//BC交射線 CA 于點 E.． (1) 若 CE＝ x， BD＝ y，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域； (2) 當(dāng)分別以線段 BD， CE 為直徑的兩圓相切時，求 DE 的長度； (3) 當(dāng)點 D 在 AB 邊上時， BC 邊上是否存在點 F，使△ ABC 與△ DEF 相似？若存在，請求出線段 BF 的長；若不存在，請說明理由． 圖 1 備用圖 備用圖 動感體驗 請打開幾何畫板文 件名“ 09 閘北 25”，拖動點 D 可以在射線 BA 上運動．雙擊按鈕“第（ 2）題”，拖動點 D 可以體驗到兩圓可以外切一次，內(nèi)切兩次． 雙擊按鈕“第（ 3）題”，再分別雙擊按鈕“ DE 為腰”和“ DE為底邊”，可以體驗到，△ DEF 為等腰三角形． 思路點撥 1．先解讀背景圖，△ ABC 是等腰三角形，那么第（ 3）題中符合條件的△ DEF 也是等腰三角形． 2．用含有 x 的式子表示 BD、 DE、 MN 是解答第（ 2）題的先決條件，注意點 E 的位置不同， DE、 MN 表示的形式分兩種情況． 3．求兩圓相切的問題時，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗方 程的解的位置是否符合題意． 4．第（ 3）題按照 DE 為腰和底邊兩種情況分類討論，運用典型題目的結(jié)論可以幫助我們輕松解題． 滿分解答 （ 1）如圖 2，作 BH⊥ AC，垂足為點 H．在 Rt△ ABH 中， AB＝ 5， cosA＝ 310AHAB? ，所以 AH＝ 32 ＝ 12 AC．所以 BH 垂直平分 AC，△ ABC 為等腰三角形， AB＝ CB＝ 5． 因為 DE//BC，所以 AB ACDB EC? ，即 53yx?．于是得到 53yx? ，（ 0x? ）． （ 2）如圖 3，圖 4，因為 DE//BC，所以 DE AEBC AC? ， MN ANBC AC? ，即 |3 |53DE x??，1|3 |253xMN ?? ．因此 5|3 |3 xDE ??， 圓心距 5|6 |6 xMN ??． 圖 2 圖 3 圖 4 在⊙ M 中， 1 1 52 2 6Mr BD y x? ? ?，在⊙ N 中， 1122Nr CE x??． ①當(dāng)兩圓外切時， 5162xx? 5|6 |6 x?? ．解得 3013x? 或者 10x?? ． 如圖 5，符合題意的解為 3013x? ，此時 5(3 ) 153 13xDE ???． ②當(dāng)兩圓內(nèi)切時， 5162xx? 5|6 |6 x??． 當(dāng) x＜ 6 時，解得 307x? ，如圖 6，此時 E 在 CA 的延長線上， 5( 3) 1537xDE ???； 當(dāng) x＞ 6 時，解得 10x? ，如圖 7，此時 E 在 CA 的延長線上， 5( 3) 3533xDE ???． 圖 5 圖 6 圖 7 （ 3）因為△ ABC 是等腰三角形，因此當(dāng)△ ABC 與△ DEF 相似時，△ DEF 也是等腰三角 形． 如圖 8，當(dāng) D、 E、 F 為△ ABC 的三邊的中點時， DE 為等腰三角形 DEF 的腰，符合題意，此時 BF＝ ．根據(jù)對稱性，當(dāng) F 在 BC 邊上的高的垂足時，也符合題意，此時 BF＝ ． 如圖 9，當(dāng) DE 為等腰三角形 DEF 的底邊時，四邊形 DECF 是平行四邊形，此時 12534BF? ． 圖 8 圖 9 圖 10 圖 11 考點伸展 第（ 3）題的情景是一道典型題，如圖 10，如圖 11， AH 是△ ABC 的高， D、 E、 F 為△ ABC 的三邊的中點，那么四邊形 DEHF 是等腰梯形． 例 7 如圖 1，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)點 A（ 0， t），點 Q（ t， b）．平移二次函數(shù) 2txy ?? 的圖象，得到的拋物線 F 滿足兩個條件：①頂點為 Q；②與 x 軸相交于 B、 C 兩點（∣ OB∣ ∣ OC∣），連結(jié) A， B． （ 1）是否存在這樣的拋物線 F，使得 OCOBOA ??2 ？請你作出判斷，并說明理由； （ 2）如果 AQ∥ BC，且 tan∠ ABO＝ 23 ，求拋物線 F 對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式． 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名“ 08 杭州 24”，拖動點 A 在 y 軸上運動，可以體驗到， AQ 與 BC 保持平行， OA∶OB 與 OA∶ OB′保持 3∶ 2． 雙擊按鈕“ t＝ 3”，“ t＝ 0． 6”，“ t＝－ 0． 6”，“ t＝－ 3”，拋物線正好經(jīng)過點 B（或 B′）． 思路點撥 1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想，把 OCOBOA ??2 轉(zhuǎn)化為 2 1 2t x x?? ． 2．如果 AQ∥ BC，那么以 OA、 AQ 為鄰邊的矩 形是正方形，數(shù)形結(jié)合得到 t＝ b． 3．分類討論 tan∠ ABO＝ 23 ，按照 A、 B、 C 的位置關(guān)系分為四種情況． A 在 y 軸正半軸時，分為 B、 C在 y 軸同側(cè)和兩側(cè)兩種情況； A 在 y 軸負(fù)半軸時，分為 B、 C在 y 軸同側(cè)和兩側(cè)兩種情況． 滿分解答 （ 1）因為平移 2txy ?? 的圖象得到的拋物線 F 的頂點為 Q （ t， b），所以拋物線 F 對應(yīng)的解析式為 btxty ???? 2)( ． 因為拋物線與 x 軸有兩個交點，因此 0?bt ． 令 0?y ，得 ??tOBtb， ??tOCtb． 所以 ??? tOCOB (|||||tb)( ?ttb)| ?? 2|t 22| OAttb ?? ．即 22bttt? ?? ．所以當(dāng) 32tb? 時，存在拋物線 F 使得 |||||| 2 OCOBOA ?? ． （ 2）因為 AQ//BC，所以 t＝ b，于是拋物線 F 為 ttxty ???? 2)( ．解得 1,1 21 ???? txtx ． ①當(dāng) 0?t 時，由 |||| OCOB ? ，得 )0,1( ?tB ． 如圖 2，當(dāng) 01??t 時，由 ??ABOtan 23 ?|| ||OBOA? 1?tt ，解得 3?t ．此時二次函數(shù)的解析式為 24183 2 ???? xxy ． 如圖 3，當(dāng) 01??t 時，由 ??ABOtan 23 ?|| ||OBOA? 1??tt ，解得 ?t 53 ．此時二次函數(shù)的解析式為 ??y 53 2x ＋ 2518 x ＋ 12548 ． 圖 2 圖 3 ②如圖 4，如圖 5，當(dāng) 0?t 時，由 |||| OCOB ? ，將 t