中考數(shù)學壓軸題[動點](編輯修改稿)
2025-05-01 03:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 4，已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當A、C關(guān)于直線y＝x對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形．因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．圖4 圖5例6，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C(0，－3)，對稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求直線BC的函數(shù)表達式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．①當線段時，求tan∠CED的值；②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補出圖形，以便作答．圖1思路點撥1．第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題．2．第（3）題的關(guān)鍵是求點E的坐標，反復用到數(shù)形結(jié)合，注意y軸負半軸上的點的縱坐標的符號與線段長的關(guān)系．3．根據(jù)C、D的坐標，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點E的坐標就簡單了．滿分解答（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，代入點C(0，－3)，得．所以拋物線的函數(shù)表達式為．（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．設直線BC的函數(shù)表達式為，代入點B(3，0)和點C(0，－3)，得 解得，．所以直線BC的函數(shù)表達式為．（3）①因為AB＝4，所以．因為P、Q關(guān)于直線x＝1對稱，所以點P的橫坐標為．于是得到點P的坐標為，點F的坐標為．所以，．進而得到，點E的坐標為．直線BC:與拋物線的對稱軸x＝1的交點D的坐標為（1，－2）．過點D作DH⊥y軸，垂足為H．在Rt△EDH中，DH＝1，所以tan∠CED．②，．圖2 圖3 圖4考點伸展第（3）題②求點P的坐標的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標，再求出CE的中點F的坐標，把點F的縱坐標代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個值就是點P的橫坐標．（四） 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例7，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1思路點撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標都表示出來．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1, 4)．因為拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點C(3, 0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因為PE//BC，所以．因此．所以點E的橫坐標為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點G的縱坐標為．于是得到．因此．所以當t＝1時，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點F關(guān)于PE軸對稱的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．，，．如圖2，當FQ＝CQ時，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當EQ＝CQ時，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2
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