中考數(shù)學(xué)壓軸題[動(dòng)點(diǎn)](編輯修改稿)
2025-05-01 03:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 4，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．問(wèn)平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當(dāng)A、C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱時(shí)，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形．因?yàn)锳、C可以無(wú)限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，所以O(shè)A與OC無(wú)法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．圖4 圖5例6，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)，對(duì)稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．①當(dāng)線段時(shí)，求tan∠CED的值；②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問(wèn)的題意，在圖中補(bǔ)出圖形，以便作答．圖1思路點(diǎn)撥1．第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題．2．第（3）題的關(guān)鍵是求點(diǎn)E的坐標(biāo)，反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合，注意y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號(hào)與線段長(zhǎng)的關(guān)系．3．根據(jù)C、D的坐標(biāo)，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點(diǎn)E的坐標(biāo)就簡(jiǎn)單了．滿分解答（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)C(0，－3)，得．所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C(0，－3)，得 解得，．所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．（3）①因?yàn)锳B＝4，所以．因?yàn)镻、Q關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．所以，．進(jìn)而得到，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．直線BC:與拋物線的對(duì)稱軸x＝1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，－2）．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸，垂足為H．在Rt△EDH中，DH＝1，所以tan∠CED．②，．圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題②求點(diǎn)P的坐標(biāo)的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出CE的中點(diǎn)F的坐標(biāo)，把點(diǎn)F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個(gè)值就是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．（四） 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題例7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值．圖1思路點(diǎn)撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個(gè)三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點(diǎn)的坐標(biāo)都表示出來(lái)．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗(yàn)證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1, 4)．因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點(diǎn)C(3, 0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因?yàn)镻E//BC，所以．因此．所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時(shí)，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點(diǎn)伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因?yàn)镕E//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點(diǎn)F關(guān)于PE軸對(duì)稱的點(diǎn)H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形EH′CQ是否為菱形．，，．如圖2，當(dāng)FQ＝CQ時(shí)，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當(dāng)EQ＝CQ時(shí)，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2
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