數(shù)學(xué)中考壓軸題旋轉(zhuǎn)問題[經(jīng)典](編輯修改稿)
2025-05-01 04:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 EC上的高AF，則AF=EC=FC, ∴ S△AEC= AFEC=AF2=24 。∴AF2=24?！郃C2=2AF2=48 AC=4。7【分析】正三角形AEF可以在正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解： ①當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，∴AB=AD，AE=AF。∵當(dāng)BE=DF時(shí)，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS）?！唷螧AE=∠FAD?！摺螮AF=60176。，∴∠BAE+∠FAD=30176?！唷螧AE=∠FAD=15176。②當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的外部，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于1800時(shí)，如圖2，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）?！唷螧AE=∠FAD?！摺螮AF=60176。，∴∠BAF=∠DAE?！?00＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105176?！唷螧AE=∠FAD=165176。③當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的外部，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于1800時(shí)，如圖3，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）?！唷螧AE=∠FAD?！摺螮AF=60176。，∠BAE=90176。，∴90176。＋∠DAE=60176。＋∠DAE，這是不可能的?！啻藭r(shí)不存在BE=DF的情況。綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE=DF時(shí)，∠BAE的大小可以是15176。或165176。8【分析】∵△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。得到△BAE， ∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，CD= AE，BD=BE。∵△ABC是等邊三角形，BC=10，∴AC= BC=10?！郃E＋AD=AC=10。又∵旋轉(zhuǎn)角∠DBE=600，∴△DBE是等邊三角形?！郉E=BD=9?！唷鰽ED的周長=DE＋AE＋AD=9＋10=19。9【答案】解：（1）補(bǔ)全圖形如下：∠CDB=30176。（2）作線段CQ的延長線交射線BM于點(diǎn)D，連接PC，AD，∵AB=BC，M是AC的中點(diǎn)，∴BM⊥AC?！郃D=CD，AP=PC，PD=PD。在△APD與△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC∴△APD≌△CPD（SSS）?！郃P=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD?！唷螾AD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180176。∴∠APQ+∠ADC=360176。－（∠PAD+∠PQD）=180176?！唷螦DC=180176。－∠APQ=180176。－2α，即2∠CDB=180176。－2α。∴∠CDB=90176。－α。（3）45176。＜α＜60176?！痉治觥浚?）利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出△CMQ是等邊三角形，即可得出答案：∵BA=BC，∠BAC=60176。，M是AC的中點(diǎn)，∴BM⊥AC，AM=AC。∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120176。 ∴CM=MQ，∠CMQ=60176?！唷鰿MQ是等邊三角形?！唷螦CQ=60176?！唷螩DB=30176。（2）首先由已知得出△APD≌△CPD，從而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180176。，即可求出。（3）由（2）得出∠CDB=90176。－α，且PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180176。－2α?！唿c(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD?！?α＞180176。－2α＞α，∴45176。＜α＜60176。10【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m＞0），∴A（m，0），C（0，1）。∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋轉(zhuǎn)90176。而成，∴A′（0，m），C′（－1，0）。（2）設(shè)過點(diǎn)A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax2＋bx＋c，∵A（m，0），A′（0，m），C′（－1，0），∴，解得?！啻藪佄锞€的解析式為：y=－x2＋（m－1）x＋m。（3）∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對稱，B（m，1），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（－m，－1），假設(shè)點(diǎn)D（－m，－1）在（2）中的拋物線上，∴0=－（－m）2＋（m－1）（－m）＋m=1，即2m2－2m＋1=0，∵△=（－2）2－422=－4＜0，∴此方程無解。∴點(diǎn)D不在（2）中的拋物線上?！痉治觥浚?）先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，1）（m＞0），求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A′、C′的坐標(biāo)即可。（2）設(shè)過點(diǎn)A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、A′、C′三點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得出abc的值，進(jìn)而得出其拋物線的解析式。（3）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)用m表示出D點(diǎn)坐標(biāo)，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式看是否符合即可。11【答案】證明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC得到， ∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC。 ∴∠ABD＋∠E’BA =∠ABC，即∠E’BD=∠ABC?！唷螮’BD=∠DBE。在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，∴△E’BD≌△EBD（SAS）?！郉E’=DE。（2）以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC=90176。，得到△BE’A（點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E’處），連接DE’ 由（1）知DE’=DE。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。又∵BA=BC，∠ABC=90176。，∴∠BAC=∠ACB=45176?！唷螮’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90176。 在Rt△DE’A中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC經(jīng)等量代
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