【文章內(nèi)容簡介】 類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．如圖4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的頂點C在y軸上，求點C的坐標．我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個符合條件的點C．如果作BD⊥y軸于D，那么△AOC∽△CDB．設(shè)OC＝m，那么．這個方程有兩個解，分別對應(yīng)圖中圓與y軸的兩個交點． 例 19 2015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知拋物線E1：y＝x2經(jīng)過點A(1,m)，以原點為頂點的拋物線E2經(jīng)過點B(2,2)，點A、B關(guān)于y 軸的對稱點分別為點A′、B′．（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點Q，使得以點Q、B、B′為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點A不重合的一點，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比． 圖1 圖2圖3 圖4動感體驗請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動點P在拋物線E1上運動，可以體驗到，點P始終是線段OP′的中點．還可以體驗到，直角三角形QBB′有兩個．思路點撥1．判斷點P是線段OP′的中點是解決問題的突破口，這樣就可以用一個字母表示點P、P′的坐標．2．分別求線段AA′∶BB′，點P到AA′的距離∶點P′到BB′的距離，就可以比較△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖文解析（1）當x＝1時，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1．設(shè)拋物線E2的表達式為y＝ax2，代入點B(2,2)，可得a＝．所以y＝x2．（2）點Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB′存在兩種情況：①如圖3，過點B作BB′的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2, 4)．②如圖4，以BB′為直徑的圓D與拋物線E1交于點Q，那么QD＝＝2．設(shè)Q(x, x2)，因為D(0, 2)，根據(jù)QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝．此時Q．（3）如圖5，因為點P、P′分別在拋物線EE2上，設(shè)P(b, b2)，P′(c, )．因為O、P、P′三點在同一條直線上，所以，即．所以c＝2b．所以P′(2b, 2b2)．如圖6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA′＝2，BB′＝4．由A(1, 1)、P(b, b2)，可得點P到直線AA′的距離PM ′＝b2－1．由B(2,2)、P′(2b, 2b2)，可得點P′到直線BB′的距離P′N′＝2b2－2．所以△PAA′與△P′BB′的面積比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4． 考點延伸第（2）中當∠BQB′＝90176。時，求點Q(x, x2)的坐標有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′HBH．所以(x2－2)2＝(x＋2) (2－x)．圖5 圖6圖1 圖2例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－1, 0)、B(3, 0)兩點，與y軸交于點C，連結(jié)BC．動點P以每秒1個單位長度的速度從點A向點B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從點B向點C運動，P、Q兩點同時出發(fā)，連結(jié)PQ，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當△BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當t＜2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點，若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由．動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘潭26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，△BPQ有兩次機會可以成為直角三角形．還可以體驗到，點N有一次機會可以落在拋物線上． 思路點撥1．分兩種情況討論等腰直角三角形BPQ．2．如果PQ的中點恰為MN的中點，那么MQ＝NP，以MQ、NP為直角邊可以構(gòu)造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對應(yīng)相等可以列方程．．圖文解析（1）因為拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(－1, 0)、B(3, 0)兩點，所以y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．（2）由A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0,－3)，可得AB＝4，∠ABC＝45176。．在△BPQ中，∠B＝45176。，BP＝4－t，BQ＝t．直角三角形BPQ存在兩種情況：①當∠BPQ＝90176。時，BQ＝BP．解方程t＝(4－t)，得t＝2（如圖3）．②當∠BQP＝90176。時，BP＝BQ．解方程4－t＝2t，得t＝（如圖4）．圖3 圖4 圖5（3）如圖5，設(shè)PQ的中點為G，當點G恰為MN的中點時，MQ＝NP．作QE⊥y軸于E，作NF⊥x軸于F，作QH⊥x軸于H，那么△MQE≌△NPF．由已知條件，可得P(t－1, 0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得xQ＝xN－xP，即3－t＝xN－(t－1)．解得xN＝2．將x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．由QH//NF，得，即．整理，得t2－9t＋12＝0．解得．因為t＜2，所以取．考點伸展第（3）題也可以應(yīng)用中點坐標公式，得．所以xN＝2xG＝2．167。1．4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先思考三個問題：1．已知A、B、C三點，以A、B、C、D為頂點的平行四邊形有幾個，怎么畫？2．在坐標平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對邊AB與DC平行且相等？3．在坐標平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對角線互相平分？圖1 圖2 圖3圖4如圖1，過△ABC的每個頂點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個點D．如圖2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點D的坐標呢？點B先向右平移2個單位，再向上平移3個單位與點A重合，因為BA與CD平行且相等，所以點C(3, 1) 先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點D(5, 4)．如圖3，如果平行四邊形ABCD的對角線交于點G，那么過點G畫任意一條直線（一般與坐標軸垂直），點A、C到這條直線的距離相等，點B、D到這條直線的距離相等．關(guān)系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝y(tǒng)B＋yD有時候用起來很方便．我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合．如圖4，點A是拋物線y＝－x2＋2x＋3在x軸上方的一個動點，AB⊥x軸于點B，線段AB交直線y＝x－1于點C，那么點A的坐標可以表示為(x,－x2＋2x＋3)，點C的坐標可以表示為(x, x－1)，線段AB的長可以用點A的縱坐標表示為AB＝y(tǒng)A＝－x2＋2x＋3，線段AC的長可以用A、C兩點的縱坐標 表示為AC＝y(tǒng)A－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2． 通俗地說，數(shù)形結(jié)合就是：點在圖象上，可以用圖象的解析式表示點的坐標，用點的坐標表示點到坐標軸的距離．例 24 2014年湖南省岳陽市中考第24題如圖1，拋物線經(jīng)過A(1, 0)、B(5, 0)、C三點．設(shè)點E(x, y)是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形．（1）求拋物線的解析式；（2）當點E(x, y)運動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值（3）是否存在這樣的點E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求點E、F的坐標；若不存在，請說明理由． 動感體驗請打開幾何畫板文件名“14岳陽24”，拖動點E運動，可以體驗到，當點E運動到拋物線的頂點時，S最大．當點E運動到OB的垂直平分線上時，四邊形OEBF恰好是正方形．思路點撥1．平行四邊形OEBF的面積等于△OEB面積的2倍．2．第（3）題探究正方形OEBF，先確定點E在OB的垂直平分線上，再驗證EO＝EB．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(1, 0)、B(5, 0)兩點，設(shè)y＝a(x－1)(x－5)．代入點C，得．解得．所以拋物線的解析式為．（2）因為S＝S平行四邊形OEBF＝2S△OBE＝OB(－yE)＝＝＝．所以當x＝3時，S取得最大值，最大值為．此時點E是拋物線的頂點（如圖2）．（3）如果平行四邊形OEBF是正方形，那么點E在OB的垂直平分線上，且EO＝EB．當x＝．此時E．如圖3，設(shè)EF與OB交于點D，恰好OB＝2DE．所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四邊形OEBF是正方形．所以當平行四邊形OEBF是正方形時，E、F．圖1 圖2 圖3圖4 圖5考點伸展既然第（3）題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有幾個呢？如圖4，如果平行四邊形OEBF為矩形，那么∠OEB＝90176。．根據(jù)EH2＝HOHB，列方程．或者由DE＝OB＝，根據(jù)DE2＝，列方程．這兩個方程整理以后都是一元三次方程4x3－28x2＋53x－20＝0，這個方程對于初中畢業(yè)的水平是不好解的．事實上，這個方程可以因式分解，．如圖3，x＝；如圖4，x＝4；如圖5，x＝，但此時點E在x軸上方了．這個方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設(shè)方程的三個根是、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝．根據(jù)恒等式對應(yīng)項的系數(shù)相等，得方程組解得例 25 2014年湖南省益陽市中考第20題如圖1，直線y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y＝a(x－2)2＋k經(jīng)過A、B兩點，并與x軸交于另一點C，其頂點為P．（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求點Q的坐標；（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N，使以A、C、M、N為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．】圖文解析（1）由y＝－3x＋3，得A(1, 0)，B(0, 3)．將A(1, 0)、B(0, 3)分別代入y＝a(x－2)2＋k，得解得a＝1，k＝－1．（2）如圖2，拋物線的對稱軸為直線x＝2，設(shè)點Q的坐標為(2, m)．已知A(1, 0)、B(0, 3)，根據(jù)QA2＝QB2，列方程12＋m2＝22＋(m－3)2．解得m＝2．所以Q(2, 2)．（3）點A(1, 0)關(guān)于直線x＝2的對稱點為C(3, 0)，AC＝2．如圖3，如果AC為正方形的邊，那么點M、N都不在拋物線或?qū)ΨQ軸上．如圖4，當AC為正方形的對角線時，M、N中恰好有一個點是拋物線的頂點(2,－1) ．因為對角線AC＝2，所以正方形的邊長為．圖1 圖2 圖3 圖4考點伸展如果把第（3）題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點M有幾個？①如果AC為對角線，上面的正方形AMCN是符合條件的，M(2,－1)．②如圖5，如果AC為邊，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以點M的橫坐標為4或0． 此時點M的坐標為(4, 3)或(0, 3)．第（2）題如果沒有限制等腰三角形ABQ的底邊，那么符合條件的點Q有幾個？①如圖2，當QA＝QB時，Q(2, 2)．②如圖6，當BQ＝BA＝時，以B為圓心，BA為半徑的圓與直線x＝2有兩個交點． 根據(jù)BQ2＝10，列方程22＋(m－3)2＝10，得．此時Q或．③如圖7，當AQ＝AB時，以A為圓心，AB為半徑的圓與直線x＝2有兩個交點，但是點(2,－3)與A、B三點共線，所以Q(2, 3)．圖5 圖6 圖7例 26 2014年湖南省邵陽市中考第25題準備一張矩形紙片（如圖1），按如圖2操作：將△ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的點M，將△CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的點N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．動感體驗請打開幾何畫板文件名“14邵陽25”，拖動點D可以改變矩形ABCD的形狀，可以體驗到，當EM與FN在同一條直線上時，四邊形BFDE是菱形，此時矩形的直角被三等分．思路點撥1．平行四邊形的定義和4個判定定理都可以證明四邊形BFDE是平行四邊形．2．如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對角線平分一組對角，或者對角線互相垂直．用這兩個性質(zhì)都可以解答第（2）題．圖文解析（1）如圖3，因為AB//DC，所以∠ABD＝∠CDB．又因為∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以BE//FD．又因為ED//BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形．圖1 圖2圖3 圖4圖5 圖6（2）如圖4，如果四邊形BFDE是菱形，那么∠1＝∠5．所以∠1＝∠2＝∠5．由于∠ABC＝90176。，所以∠1＝∠2＝∠5＝30176。．所以