數(shù)學中考壓軸題解析-資料下載頁
2025-07-25 19:37本頁面
【導讀】1．．如圖，在平面直角坐標系xOy中，xy的圖象與x軸交于點A，與y. ①若CP＝6，直接寫出∠AEP的度數(shù)；②若點P在線段BC的延長線上運動，若變化，請說明理由；若不變，求出∠ADP的度數(shù)；25．證明：如圖10，∴△ABC是等邊三角形.···········2分。①答：∠AEP=120°．·····················3分?！郉A=DC，∠BDA＝∠BDC＝ADC?∵DH垂直平分CP，在△CDP中，∠CDH=∠PDH＝PDC?∵∠BDH=∠BDC＋∠CDH＝ADC?作PG⊥x軸于點G，在Rt△PGC中，PC=t，
【正文】 。 1 分 ∵ △ ABC和 △ ADE為等邊三角形 ∴ AB=AC， AE=AD， ∠ BAC=∠ EAD=60o ∵∠ BAE =∠ BAC－ ∠ EAC =60o－ ∠ EAC， ∠ DAC =∠ DAE－ ∠ EAC =60o－ ∠ EAC， ∴∠ BAE=∠ DAC， ∴ △ ABE ≌ △ ACD 3 分 ∴ CD=BE 4 分 （ 2） △ AMN是等邊三角形．理由如下： 5 分 ∵ △ ABE ≌ △ ACD， ∴∠ ABE=∠ ACD． ∵ M、 N 分別是 BE、 CD 的中點， ∴ BM= 1122B E C D C N?? ∵ AB=AC， ∠ ABE=∠ ACD， ∴ △ ABM ≌ △ ACN． ∴ AM=AN， ∠ MAB=∠ NAC． 6 分 ∴∠ NAM=∠ NAC+∠ CAM=∠ MAB+∠ CAM=∠ BAC=60o ∴ △ AMN是等邊三角形． 7 分 設(shè) AD=a， 則 AB=2a． ∵ AD=AE=DE， AB=AC， ∴ CE=DE． ∵ △ ADE為等邊三角形， ∴∠ DEC=120 o， ∠ ADE=60o， ∴∠ EDC=∠ ECD=30o ， ∴∠ ADC=90o． 8 分 ∴ 在 Rt△ ADC中， AD=a， ∠ ACD=30 o ， ∴ CD= 3a ． ∵ N 為 DC 中點， 圖 1 圖 2 圖 3 圖 8 圖 10 C N D A M E B 圖 11 C N D A B M E ∴ 32DN a?， ∴ 2 2 2 237()22A N D N A D a a a? ? ? ? ?． 9 分 ∵ △ ADE， △ ABC， △ AMN為等邊三角形， ∴ S△ ADE∶ S△ ABC∶ S△ AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(: 222 ??? aaa 10 分 解法二： △ AMN是等邊三角形．理由如下： 5 分 ∵ △ ABE ≌ △ ACD， M、 N 分別是 BE、 CN 的中點， ∴ AM=AN， NC=MB． ∵ AB=AC， ∴ △ ABM ≌ △ ACN， ∴ ∠ MAB=∠ NAC ， ∴∠ NAM=∠ NAC+∠ CAM=∠ MAB+∠ CAM=∠ BAC=60o ∴ △ AMN是等邊三角形 7 分 設(shè) AD=a， 則 AD=AE=DE= a， AB=BC=AC=2a 易證 BE⊥ AC， ∴ BE= aaaAEAB 3)2( 2222 ???? ， ∴ 32EM a? ∴ aaaAEEMAM27)2 3( 2222 ????? ∵ △ ADE， △ ABC， △ AMN為等邊三角形 ∴ S△ ADE∶ S△ ABC∶ S△ AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(: 222 ??? aaa 10 分 27.（ 20xx 年綿陽市）如圖，在平面直角坐標系中，矩形 AOBC 在第一象限內(nèi)， E 是邊 OB上的動點（不包括端點），作 ∠ AEF = 90?，使 EF 交矩形 的外角平分線 BF 于點 F，設(shè) C（ m，n）． （ 1）若 m = n 時，如圖，求證： EF = AE； （ 2）若 m≠ n 時，如圖，試問邊 OB 上是否還存在點 E，使得 EF = AE？若存在，請求出點 E 的坐標；若不存在，請說明理由． （ 3）若 m = tn（ t＞ 1）時，試探究點 E 在邊 OB 的何處時，使得 EF =（ t + 1） AE 成立？并求出點 E 的坐標． 25．（ 1）由題意得 m = n 時， AOBC 是正方形． 如圖，在 OA 上取點 C，使 AG = BE，則 OG = OE． ∴ ∠ EGO = 45?，從而 ∠ AGE = 135?． 由 BF 是外角平分線，得 ∠ EBF = 135?， ∴ ∠ AGE =∠ EBF． ∵ ∠ AEF = 90?， ∴ ∠ FEB +∠ AEO = 90?． 在 Rt△ AEO 中， ∵ ∠ EAO +∠ AEO = 90?， ∴ ∠ EAO =∠ FEB， ∴ △ AGE≌ △ EBF， EF = AE． （ 2）假設(shè)存在點 E，使 EF = AE．設(shè) E（ a， 0）．作 FH⊥ x 軸于 H，如圖． 由（ 1）知 ∠ EAO =∠ FEH，于是 Rt△ AOE≌ Rt△ EHF． ∴ FH = OE， EH = OA． ∴ 點 F 的縱坐標為 a，即 FH = a． 由 BF 是外角平分 線，知 ∠ FBH = 45?， ∴ BH = FH = a． 又由 C（ m， n）有 OB = m， ∴ BE = OB－ OE = m－ a， ∴ EH = m－ a + a = m． 又 EH = OA = n， ∴ m = n，這與已知 m≠ n 相矛盾． 因此在邊 OB 上不存在點 E，使 EF = AE 成立． x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F G （ 3）如（ 2）圖，設(shè) E（ a， 0）， FH = h，則 EH = OH－ OE = h + m－ a． 由 ∠ AEF = 90?， ∠ EAO =∠ FEH，得 △ AOE∽△ EHF， ∴ EF =（ t + 1） AE 等價于 FH =（ t + 1） OE，即 h =（ t + 1） a， 且FHOEEHAO?，即haamh n ???， 整理得 nh = ah + am－ a2， ∴ an amaan aamh ?????? )(2． 把 h =（ t + 1） a 代入得 atan ama )1()( ????， 即 m－ a =（ t + 1）（ n－ a）． 而 m = tn，因此 tn－ a =（ t + 1）（ n－ a）． 化簡得 ta = n，解得tna?． ∵ t＞ 1， ∴ tn＜ n＜ m，故 E 在 OB 邊上． ∴ 當 E 在 OB 邊上且離原點距離為tn處時滿足條件，此時 E（tn， 0）． H x O E B A y C F
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