[中考數(shù)學]浙江省衢州市中考數(shù)學試題解析word版-資料下載頁
2025-01-15 05:34本頁面
【正文】 =BC=2，（1）要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由．（2）圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s1；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為s2（如圖2），則s2=；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為s3，繼續(xù)操作下去…，則第10次剪取時，s10=；（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．考點：正方形的性質；勾股定理；等腰直角三角形。專題：規(guī)律型。分析：（1）分別求出甲、乙兩種剪法所得的正方形面積，進行比較即可；（2）按圖1中甲種剪法，可知后一個三角形的面積是前一個三角形的面積的，依此可知結果；（3）探索規(guī)律可知：，依此規(guī)律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．解答：解：（1）解法1：如圖甲，由題意，得AE=DE=EC，即EC=1，S正方形CFDE=12=1如圖乙，設MN=x，則由題意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，∴，解得∴又∵∴甲種剪法所得的正方形面積更大．說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，S正方形OFDE=1．解法2：如圖甲，由題意得AE=DE=EC，即EC=1，如圖乙，設MN=x，則由題意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，∴，解得，又∵，即EC＞MN．∴甲種剪法所得的正方形面積更大．（2），．（3）解法1：探索規(guī)律可知：剩余三角形面積和為=解法2：由題意可知，第一次剪取后剩余三角形面積和為2﹣S1=1=S1第二次剪取后剩余三角形面積和為，第三次剪取后剩余三角形面積和為，…第十次剪取后剩余三角形面積和為．點評：本題考查了正方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，得出甲、乙兩種剪法，所得的正方形面積是解題的關鍵．2（2011?衢州）已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點A（1，0），點B（﹣3，0），并且當兩直線同時相交于y正半軸的點C時，恰好有l(wèi)1⊥l2，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l2交于點K，如圖所示．（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數(shù)解析式；（2）拋物線的對稱軸被直線l1，拋物線，直線l2和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關系？請說明理由；（3）當直線l2繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）利用△BOC∽△COA，得出C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）可求得直線l1的解析式為，直線l2的解析式為，進而得出D，E，F(xiàn)點的坐標即可得出，三條線段數(shù)量關系；（3）利用等邊三角形的判定方法得出△ABK為正三角形，以及易知△KDC為等腰三角形，進而得出△MCK為等腰三角形E點坐標．解答：解：（1）解法1：由題意易知：△BOC∽△COA，∴，即，∴，∴點C的坐標是（0，），由題意，可設拋物線的函數(shù)解析式為，把A（1，0），B（﹣3，0）的坐標分別代入，得，解這個方程組，得，∴拋物線的函數(shù)解析式為．解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴，∴點C的坐標是（0，），由題意可設拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入函數(shù)解析式得，所以，拋物線的函數(shù)解析式為；（2）解法1：截得三條線段的數(shù)量關系為KD=DE=EF．理由如下：可求得直線l1的解析式為，直線l2的解析式為，拋物線的對稱軸為直線x=1，由此可求得點K的坐標為（﹣1，），點D的坐標為（﹣1，），點E的坐標為（﹣1，），點F的坐標為（﹣1，0），∴KD=，DE=，EF=，∴KD=DE=EF．解法2：截得三條線段的數(shù)量關系為KD=DE=EF，理由如下：由題意可知Rt△ABC中，∠ABC=30176。，∠CAB=60176。，則可得，由頂點D坐標（﹣1，）得，∴KD=DE=EF=；（3）當點M的坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）時，△MCK為等腰三角形．理由如下：（i）連接BK，交拋物線于點G，易知點G的坐標為（﹣2，），又∵點C的坐標為（0，），則GC∥AB，∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60176。，即△ABK為正三角形，∴△CGK為正三角形∴當l2與拋物線交于點G，即l2∥AB時，符合題意，此時點M1的坐標為（﹣2，），（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30176。，易知△KDC為等腰三角形，∴當l2過拋物線頂點D時，符合題意，此時點M2坐標為（﹣1，），（iii）當點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，但點A、C、K在同一直線上，不能構成三角形，綜上所述，當點M的坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）時，△MCK為等腰三角形．點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的應用，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．第 21 頁 共 21
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