【正文】 過程中， OP＝ BR＝ RQ，所以 PQ//x軸． 因此 ∠ AQP＝ 45176。保持不變， ∠ PAQ 越來越大，所以只存在 ∠ APQ＝ ∠ AQP 的情況． 此時點 A在 PQ的垂直平分線上， OR＝ 2CA＝ 6．所以 BR＝ 1， t＝ 1． 我們再來討論 P在 CA上運動時的情形， 4≤t＜ 7． 在 △ APQ中， 為定值， ， ． 5333如圖 5，當 AP＝ AQ時，解方程 ，得 ． 338 如圖 6，當 QP＝ QA 時，點 Q 在 PA 的垂直平分線上， AP＝ 2(OR－ OP)．解方程，得 ． 1AQ如 7，當 PA＝ PQ時，那么 ．因此 ．解方程 AP 5203226． ，得 綜上所述， t＝ 1或 41或 5或 226時， △ APQ是等腰三角形． 843 圖 5 圖 6 圖 7 考點伸展 當 P在 CA上， QP＝ QA時，也可以用 來求解． 2022中考數(shù)學壓軸題函數(shù)等腰三角形問題 (二 ) 例 3 如圖 1，在直角坐標平面內有點 A(6, 0)， B(0, 8)， C(－ 4, 0)，點 M、 N分別為線段 AC和射線 AB 上的動點，點 M 以 2 個單位長度 /秒的速度自 C 向 A 方向作勻速運動，點 N 以 5個單位長度 /秒的速度自 A向 B方向作勻速運動， MN交 OB于點 P． (1)求證： MN∶ NP為定值； (2)若 △ BNP與 △ MNA相似，求 CM的長； (3)若 △ BNP是等腰三角形，求 CM的長． 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 ―10閘北 25‖，拖動點 M在 CA 上運動，可以看到 △ BNP與 △ MNA的形狀隨 M的運動而改變．雙擊按鈕 ―△ BNP∽△ MNA‖，可以體驗到，此刻兩個三角形都是直角三角形．分別雙擊按鈕 ―BP＝ BN， N在 AB上 ‖、 ―NB＝ NP‖和 ―BP＝ BN， N在 AB的延長線上 ‖，可以準確顯示等腰三角形 BNP的三種情況． 思路點 撥 1．第（ 1）題求證 MN∶ NP 的值要根據(jù)點 N 的位置分兩種情況．這個結論為后面的計算提供了方便． 2．第（ 2）題探求相似的兩個三角形有一組鄰補角，通過說理知道這兩個三角形是直角三角形時才可能相似． 3．第（ 3）題探求等腰三角形，要兩級（兩層）分類，先按照點 N的位置分類，再按照頂角的頂點分類．注意當 N在 AB的延長線上時，鈍角等腰三角形只有一種情況． 4．探求等腰三角形 BNP， N 在 AB 上時， ∠ B 是確定的，把夾 ∠ B 的兩邊的長先表示出來，再分類計算． 滿分解答 (1)如圖 2，圖 3， 作 NQ⊥ x軸，垂足為 Q．設點 M、 N的運動時間為 t秒． 在 Rt△ ANQ中， AN＝ 5t， NQ＝ 4t ， AQ＝ 3t． 在圖 2中， QO＝ 6－ 3t， MQ＝ 10－ 5t，所以 MN∶ NP＝ MQ∶ QO＝ 5∶ 3． 在圖 3中， QO＝ 3t－ 6， MQ＝ 5t－ 10，所以 MN∶ NP＝ MQ∶ QO＝ 5∶ 3． (2)因為 △ BNP與 △ MNA有一組鄰補角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形．只有當這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似． 如圖 4， △ BNP∽△ MNA，在 Rt△ AMN中， ， 所以 ．解得 ．此時 ． 3131 圖 2 圖 3 圖 4 (3)如圖 5，圖 6，圖 7中， OPMPOP28，即 ．所以 ． QNMN4t55 ① 當 N在 AB上時，在 △ BNP中， ∠ B是確定的， ， ． 8 5 (Ⅰ )如圖 5，當 BP＝ BN時，解方程 ，得 52022．此時 ． 1717 (Ⅱ )如圖 6，當 NB＝ NP時， ．解方程 ，得 ．此時 ． 42 (Ⅲ )當 PB＝ PN時， ．解方程 ，得 t的值為負 數(shù)，因此不存在 PB＝ PN的情況． ② 如圖 7，當點 N在線段 AB的延長線上時， ∠ B是鈍角，只存在 BP＝ BN 的可能，此時．解方程 ，得 853060．此時 ． 1111 圖 5 圖 6 圖 7 考點伸展 如圖 6，當 NB＝ NP時， △ 24這樣計算簡便一些． BP， 5 例 4 如圖 1，在矩形 ABCD中， AB＝ m（ m是大于 0的常數(shù)）， BC＝ 8， E為線段 BC上的動點（不與 B、 C重合）．連結 DE，作 EF⊥ DE， EF與射線 BA交于點 F，設 CE＝ x， BF＝ y． （ 1）求 y關于 x的函數(shù)關系式； （ 2）若 m＝ 8，求 x為何值時， y的值最大，最大值是多少？ （ 3）若 ，要使 △ DEF為等腰三角形， m的值應為多少？ m 圖 1 動感體驗 請打開幾何畫板文件名 ―10南通 27‖，拖動點 E 在 BC 上運動，觀察 y 隨 x 變化的函數(shù)圖像，可以體驗到， y是 x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下．對照圖形和圖像，可以看到，當E是 BC的中點時， y取得最大值．雙擊按鈕 ―m＝ 8‖，拖動 E到 BC的中點，可以體驗到，點 F是 AB的四等分點． 拖動點 A可以改變 m的值，再拖動圖像中標簽為 ―y隨 x‖ 的 點到射線 y＝ x上，從圖形中可以看到，此時 △ DCE≌△ EBF． 思路點撥 1．證明 △ DCE∽△ EBF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可以得到 y 關于 x 的函數(shù)關系式． 2．第（ 2）題的本質是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值． 3．第（ 3）題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達．一段是說理，如果 △ DEF為等腰三角形，那么得到 x＝ y；一段是計算，化簡消去 m，得到關于 x 的一元二次方程，解出 x 的值；第三段是把前兩段結合，代入求出對應的 m的值． 滿分解答 (1)因為 ∠ EDC與 ∠ FEB都是 ∠ DEC的余 角，所以 ∠ EDC＝ ∠ FEB．又因為 ∠ C＝ ∠ B＝ 90176。，所以 △ DCE∽△ EBF．因此 ，即 ．整理，得 y關于 x的函 數(shù)關系為 ． mm 1 818(2)如圖 2，當 m＝ 8時， ．因此當 x＝ 4時， y取得 最大值為 2． (3) 若 ，那么 ．整理，得 ．解得 x＝ 2或 xmmmm 1212，得 m＝ 6（如圖 3）；將 x＝ y ＝ 6代入 ， mm＝ 6．要使 △ DEF為等腰三角形，只存在 ED＝ EF的情況 ．因為 △ DCE∽△ EBF，所以 CE＝ BF，即 x＝ y．將 x＝ y ＝ 2代入