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中考數(shù)學(xué)壓軸題[有答案]-資料下載頁(yè)

2025-06-24 00:47本頁(yè)面
  

【正文】 點(diǎn)G的起點(diǎn)為D,終點(diǎn)為G″,如圖2②所示,∴點(diǎn)G的移動(dòng)路線是線段DG″.∵∠G″DC=∠BDA,∠DCG″=∠A=90176。,∴△DCG″∽△DAB.∴=.∴=.∴DG″=.∴點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)為.點(diǎn)評(píng):本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、垂線段定理等知識(shí),考查了動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)的路線長(zhǎng),綜合性較強(qiáng).而發(fā)現(xiàn)∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解決本題的關(guān)鍵. 13.(2014?東昌府區(qū)三模)已知:如圖,在△ABC中,AB=BC,D是AC中點(diǎn),BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)O是AB上一點(diǎn),⊙O過B、E兩點(diǎn),交BD于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F.(1)求證:AC與⊙O相切;(2)當(dāng)BD=6,sinC=時(shí),求⊙O的半徑.考點(diǎn):切線的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);解直角三角形.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:幾何綜合題;壓軸題.分析:(1)連接OE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD⊥AC,推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB,得出∠OEB=∠DBE,推出OE∥BD,得出OE⊥AC,根據(jù)切線的判定定理推出即可;(2)根據(jù)sinC=求出AB=BC=10,設(shè)⊙O 的半徑為r,則AO=10﹣r,得出sinA=sinC=,根據(jù)OE⊥AC,得出sinA===,即可求出半徑.解答:(1)證明:連接OE,∵AB=BC且D是AC中點(diǎn),∴BD⊥AC,∵BE平分∠ABD,∴∠ABE=∠DBE,∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB,∴∠OEB=∠DBE,∴OE∥BD,∵BD⊥AC,∴OE⊥AC,∵OE為⊙O半徑,∴AC與⊙O相切.(2)解:∵BD=6,sinC=,BD⊥AC,∴BC=10,∴AB=BC=10,設(shè)⊙O 的半徑為r,則AO=10﹣r,∵AB=BC,∴∠C=∠A,∴sinA=sinC=,∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E,∴OE⊥AC,∴sinA===,∴r=,答:⊙O的半徑是.點(diǎn)評(píng):本題考查了平行線的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì)和判定,解直角三角形,切線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,解(1)小題的關(guān)鍵是求出OE∥BD,解(2)小題的關(guān)鍵是得出關(guān)于r的方程,題型較好,難度適中,用了方程思想. 14.(2014?安徽模擬)閱讀材料:如圖,△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1,r2,腰上的高為h,連接AP,則S△ABP+S△ACP=S△ABC,即:AB?r1+AC?r2=AB?h,∴r1+r2=h(1)理解與應(yīng)用如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在 三角形內(nèi)任一點(diǎn)”,即:已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1,r2,r3,試證明:.(2)類比與推理邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于 4?。唬?)拓展與延伸若邊長(zhǎng)為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1,r2,…rn,請(qǐng)問r1+r2+…rn是否為定值(用含n的式子表示),如果是,請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值.考點(diǎn):正多邊形和圓;等腰三角形的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);正方形的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:壓軸題;探究型.分析:(1)由條件可以求出邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的高為,連接PA,PB,PC,仿照面積的割補(bǔ)法,得出S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,而這幾個(gè)三角形的底相等,故化簡(jiǎn)后可得出高的關(guān)系.(2)如圖正方形過正方形內(nèi)的任一點(diǎn)P向四邊做垂線就可以求出到正方形四邊的距離和為正方形邊長(zhǎng)的2倍,從而得出結(jié)論.(3)問題轉(zhuǎn)化為正n邊形時(shí),根據(jù)正n邊形計(jì)算面積的方法,從中心向各頂點(diǎn)連線,可得出n個(gè)全等的等腰三角形,用邊長(zhǎng)2為底,邊心距為高,可求正n邊形的面積,然后由P點(diǎn)向正n多邊形,又可把正n邊形分割成n個(gè)三角形,以邊長(zhǎng)為底,以rr…、rn為高表示面積,列出面積的等式,可求證r1+r2+…+rn為定值.解答:解:(1)分別連接AP,BP,CP,作AD⊥BC于D,∴∠ADB=90176。,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC=2,∠ABC=60176。,∴∠BAD=30176。,∴BD=1,在Rt△ABD中,由勾股定理,得∴AD=∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC.∴AB?r1+BC?r2+AC?r3=BCAD,∵BC=AC=AB,∴r1+r2+r3=AD.∴r1+r2+r3=(2)如圖2,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90176。,AB=BC=CD=AD=2.∵PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥DC,PH⊥AD,∴四邊形PEBF是矩形,四邊形PFCG是矩形,四邊形PGDH是矩形,四邊形PHAE是矩形,∴PE=AH,PF=BE,PG=HD,PH=AE,∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4.故答案為4.(3)設(shè)正n邊形的邊心距為r,且正n邊形的邊長(zhǎng)為2,∴S正n邊形=2nr.r=,∵S正n邊形=2r1+2r2+2r1+…+2rn,∴2r1+2r2+2r1+…+2rn=n,∴r1+r2+…+rn=nr=(為定值).點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)及利用面積分割法,求線段之間的關(guān)系,充分體現(xiàn)了面積法解題的作用. 15.(2014?安徽名校一模)如圖△ABC中∠A=90176。,以AB為直徑的⊙O交BC于D,E為AC邊中點(diǎn),求證:DE是⊙O的切線.考點(diǎn):切線的判定.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:證明題;壓軸題.分析:要想證DE是⊙O的切線,只要連接OD,AD,求證∠ODE=90176。即可.解答:證明:連接AD、DO;∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ADC=90176。.∵E是AC的中點(diǎn),∴DE=AE(直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半),∴∠EAD=∠EDA.∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=∠EAD+∠DAO=∠CAB=90176。.∴OD⊥DE.DE是⊙O的切線.點(diǎn)評(píng):本題考查的是切線的判定,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可. 16.(2014?灌南縣模擬)如圖,AB是⊙O的直徑,AC是弦,∠ACD=∠AOC,AD⊥CD于點(diǎn)D.(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若AB=10,AD=2,求AC的長(zhǎng).考點(diǎn):切線的判定;等腰三角形的性質(zhì);勾股定理;矩形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計(jì)算題;壓軸題.分析:(1)由半徑OA=OC,根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠OCA=∠OAC,又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到三角形AOC三個(gè)內(nèi)角和等于180176。,等量代換得∠AOC+2∠OCA=180176。,在等式兩邊同時(shí)2,把∠ACD=∠AOC代入得到∠ACD與∠OCA相加為90176。,可得∠DCO為90176。,又OC為半徑,根據(jù)切線的性質(zhì)可得CD為圓O的切線;(2)過A作AE垂直于OC,交OC于點(diǎn)E,再由(1)得到DC與CO垂直,且AD垂直于CD,根據(jù)垂直定義得到四邊形ADCE三個(gè)角為直角,可得此四邊形為矩形,根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=CE,由AD的長(zhǎng)得到CE的長(zhǎng),再由直徑AB的長(zhǎng)求出半徑OA的長(zhǎng),在直角三角形AOE中,由OA及OE的長(zhǎng),利用勾股定理求出AE的長(zhǎng),由AE及CE的長(zhǎng),利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng).解答:解:(1)∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180176。,∴∠AOC+2∠OCA=180176。,∴∠AOC+∠OCA=90176。,∵∠ACD=∠AOC,∴∠ACD+∠OCA=90176。,即∠DCO=90176。,又∵OC是半徑,∴CD是⊙O的切線; …(3分)(2)過點(diǎn)A作AE⊥OC,垂足為E,可得∠AEC=90176。,由(1)得∠DCO=90176。,∵AD⊥CD,∴∠D=90176。,∴四邊形DCEA是矩形,又AD=2,∴CE=AD=2,…(4分)∵AB是直徑,且AB=10,∴OA=OC=5,∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3,∴在Rt△AEO中,OA=5,OE=3,根據(jù)勾股定理得:AE==4,…(5分)∴在Rt△ACE中,CE=2,AE=4,根據(jù)勾股定理得:AC==2.…(6分)點(diǎn)評(píng):此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及切線的判定與性質(zhì),利用了轉(zhuǎn)化的思想,證明切線的方法有兩種:有點(diǎn)連接圓心與此點(diǎn),證明垂直;無(wú)點(diǎn)作垂線,證明垂線段長(zhǎng)等于圓的半徑. 17.(2014?普陀區(qū)二模)如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),過D作射線DE交AB邊于E,使∠BDE=∠A,以D為圓心、DC的長(zhǎng)為半徑作⊙D.(1)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域.(2)當(dāng)⊙D與AB邊相切時(shí),求BD的長(zhǎng).(3)如果⊙E是以E為圓心,AE的長(zhǎng)為半徑的圓,那么當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí),⊙D與⊙E相切?考點(diǎn):圓的綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:壓軸題.分析:(1)通過相似三角形△BDE∽△BAC的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=,把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入并整理得到y(tǒng)=5﹣x(0<x≤);(2)如圖,假設(shè)AB與⊙D相切于點(diǎn)F,連接FD.通過相似三角形△BFD∽△BGA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=.DF=6﹣BD,由勾股定理求得AG=4,BA=5,所以把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入便可以求得BD的長(zhǎng)度;(3)分類討論:⊙D與⊙E相外切和內(nèi)切兩種情況.由(1)的相似三角形推知BD=ED.所以如圖2,當(dāng)⊙D與⊙E相外切時(shí).AE+CD=DE=BD;如圖3,當(dāng)⊙D與⊙E相內(nèi)切時(shí).CD﹣AE=DE=BD.解答:解:(1)如圖,∵∠B=∠B,∠BDE=∠A,∴△BDE∽△BAC,∴=,∵AB=AC=5,BC=6,BD=x,AE=y,∴=,即y=5﹣x.∵0<x≤6,且0≤y≤5,∴0<x≤.綜上所述,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域?yàn)椋簓=5﹣x(0<x≤);(2)如圖,假設(shè)AB與⊙D相切于點(diǎn)F,連接FD,則DF=DC,∠BFD=90176。.過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,則∠BGA=90176。.∴在△BFD和△BGA中,∠BFD=∠BGA=90176。,∠B=∠B,∴△BFD∽△BGA,∴=.又∵AB=AC=5,BC=6,AG⊥BC∴BG=BC=3,AG===4,∴=,解得BD=;(3)∵由(1)知,△BDE∽△BAC,∴=,即==1,∴BD=DE.如圖2,當(dāng)⊙D與⊙E相外切時(shí).AE+CD=DE=BD,∵由(1)知,BD=x,AE=y,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=5﹣x,∴5﹣x+6﹣x=x,解得,x=,符合0<x≤,∴BD的長(zhǎng)度為.如圖3,當(dāng)⊙D與⊙E相內(nèi)切時(shí).CD﹣AE=DE=BD,∵由(1)知,BD=x,AE=y,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=5﹣x,∴6﹣x﹣5+x=x,解得,x=,符合0<x≤,∴BD的長(zhǎng)度為.綜上所述,BD的長(zhǎng)度是或.點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題.其中涉及到了相切兩圓的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.遇到動(dòng)點(diǎn)問題,需要對(duì)動(dòng)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論. 18.(2014?江西模擬)如圖,矩形ABCD的邊AB=4,BC=3.一簡(jiǎn)易量角器放置在矩形ABCD內(nèi),其零度線即半圓O的直徑與邊AB重合,點(diǎn)A處是0刻度,點(diǎn)B處是180刻度.P點(diǎn)是量角器的半圓弧上一動(dòng)點(diǎn),過P點(diǎn)的切線與邊BC、CD(或其延長(zhǎng)線)分別交于點(diǎn)E、F.設(shè)點(diǎn)P的刻度數(shù)為n,∠PAB=α.(1)當(dāng)n=136時(shí),α= 22176?!?,求出α與n的關(guān)系式;(2)在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,線段EB與EP有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)予證明;(3)在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,F(xiàn)點(diǎn)在直線CD上的位置隨著α的變化而變化,當(dāng)F點(diǎn)在線段CD上時(shí)、在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)、在DC的延長(zhǎng)線上時(shí),對(duì)應(yīng)的α值分別是多少?(參考數(shù)據(jù):176?!郑?)連接BP,在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在△ABP與△CEF相似的情況?若存在,求出此時(shí)n的值以及相應(yīng)的EF的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn):圓的綜合題;等腰三角形的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形;矩形的性質(zhì);圓周角定理;切線長(zhǎng)定理;相似三角形的性質(zhì);銳角三角函數(shù)的定義.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:壓軸題.分析:(1)由∠AOP=136176??汕蟪觥螾OB,進(jìn)而求出∠PAB,用同樣的方法就可求出α與n的關(guān)系.(2)運(yùn)用切線長(zhǎng)定理即可解決問題.(3)先考慮各種臨界位置下α的值,就能得出點(diǎn)F分別在線段CD上、CD的延長(zhǎng)線上、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)對(duì)應(yīng)α的取值范圍.(4)分點(diǎn)E在線段BC上和點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論,利用等邊三角形和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)即可解決問題.解答:解:(1)連接OP,如圖1,由題可知:∠AOP=136176。.∴∠POB=44176。.∴∠PAB=22176。.∵∠AOP=n176。,∴∠POB=180176。﹣n176。.∴∠PAB=α=∠POB=(180176。﹣n176。)=90176。﹣n176。.故答案為:22176。,α與n的關(guān)系式α=90176。﹣n176。.(2)EB=EP.理由如下:如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90176。.∴EB與半圓O相切.又∵EP與半圓O相切,∴由切線長(zhǎng)定理得:EB=EP.(3)①如圖2,此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合,連接DO.由切線長(zhǎng)定理得:DP=DA=3,∠ADO=∠PDO.∴DO⊥AP.∴∠DAP=90176。﹣∠ADO=∠DOA.∵∠DAO=
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